Distanze intere dai vertici e dai lati

[Erasmus_First]

Dato il triangolo che in una opportuna unità di misura ha i lat lunghi [a, b, c ] = [345, 460, 575], determinare un punto interno P le cui distanze dai vertici e dai lati siano tutte intere.

P.S.
Domanda alla quale non so ancora rispondere:
«Quanti [e quali] sono i punti interni di questo triangolo con distanze tutte intere sia dai vertici che dai lati?»
_______

[domino.h4ck]

Il punto rispetto a quale sistema di riferimento? Origine coincidente con uno dei vertici?

[giammaria2]

Per la domanda di DoMinO, direi che il sistema di riferimento può essere scelto a piacere, basta dire come. Può anche non essere necessario; ad esempio, la risposta può essere l'incentro del triangolo (ma non lo è).
Non riesco ancora a risolvere il problema e scrivo solo le poche cose che finora ho visto:
- si tratta di un triangolo rettangolo, ottenuto da quello di lati 3, 4, 5 moltiplicando i lati per 115 = 5 * 23. Volendo introdurre un sistema di riferimento, conviene evidentemente farlo con i cateti sugli assi cartesiani;
- se per "punto interno" si intende "bordi compresi", sono soluzione i tre vertici. Questo vale anche se i numeri 3, 4, 5 sono moltiplicati solo per 5; l'ulteriore moltiplicazione per 23 fa supporre che allora ci sia anche almeno un'altra soluzione, che però non ho ancora trovato.

Ho quasi voglia di arrendermi e di pensare ad una soluzione al computer.

[domino.h4ck]

Qualcosa ho in mente. Appena posso ci ragiono

[axpgn]

@giammaria
Arrenditi!

A me ne viene uno solo ...

Disponendo il triangolo nel primo quadrante con i cateti sugli assi e quello corto orizzontale, le coordinate di $P$ sono $x=105$ e $y=100$

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

"axpgn":A me ne viene uno solo ...

Visto che l'hai trovato senza sapere che è un punto con una precisa proprietà caratteristica (cioè: anche lui è il centro di qualcosa, analogamente al circocentro, al baricentro, all'incentro e all'ortocentro , potresti anche rispondere alla seconda domanada, cioè se è l'unico punto a distanze intere sia dai vertici che dai lati o se ce ne sono altri e allora quali sono.
Siccome il triangolo è rettangolo basta un programmino miserello con due FOR uno dentro nell'altro per beccare tutte le coppie di interi coordinate di punti interni (cioè: punti a distanza intera dai cateti) e verificare se sono intere o no le distanze dai vertici e dall'ipotenusa.
Una volta – ormai molti anni fa – programmavo in turboPascal per Macintosh. Il Pascal è un like-english comprensibile anche a chi non l'ha mai incontrato prima.
Dunque ...

[...]
var  h, k, m, n: integer; 
x, y, z, w: real;
OK: boolean;
begin
 n:= 0;
 for h:=2 to 459 do
 begin
    m:= round(h*3/4);
    for k:=1 to m do
    begin
      x:=sqrt(h^2 + k^2);  y = sqrt((460-h)^2 + k^2); z:= sqrt(460-h)^2 + (345-k)^2);
      OK:= (1,0*rond(x) = x) and (1.0*round(y = y) and (1.0*round(z) = z));
      if OK then 
      begin
        w:=sqrt(2((xz)^2+(575*x)^2 +(575*z)^2) -(x^4+z^4+575.0^4)/(2(y+z+575));
         OK.=1.0*round(w)=w):
         if OK then 
          begin
             n.=n+1;
             write('P(',n,'): [x, y] = [',460-h,', k,'}', chr(13))
           end
        end
      end
   end;
  while non keypressed do
end.

@ giammaria

Hai colto di colpo che si tratta d'una terna pitagorica multipla della [3, 4, 5], cioè [345, 460, 575] = 115·[3, 4, 5] e che 115 = 5·23.
Dunque nel triangolo di lati [3, 4, 5] c'è un punto P tale che le sue distanze dai vertici e dai lati sono razionali e il loro denominatore comune o è 115 o è un divisore di 115.
Se consideri tre cerchi tangenti a due a due e di raggi rispettivi 1, 2 e 3, vedi subito che i loro centri stanno nei vertici del triangolo di lati [3, 4, 5]. Incastrato tra i tre cerchi tangenti a due a due ci può stare un cerchietto tangente a tutti gli altri tre. Sia r il raggio di questo cerchietto. Il suo centro dista 1 + r da un vertice, 2 + r da un altro e 3 + r dal terzo.
Quando vale questo r?
Beh: t'ho detto anche troppo!

Ciao, ciao.
______

[axpgn]

"Erasmus_First":... potresti anche rispondere alla seconda domanada, cioè se è l'unico punto a distanze intere sia dai vertici che dai lati o se ce ne sono altri e allora qquali sono. ...

Mi pare di aver già risposto, no?

Delle migliaia di punti "notevoli" di un triangolo conosco giusto quei quattro ( ) più l'excentro (si dice così ?), anzi, no ... mi ricordo che qualche tempo fa avevo letto delle proprietà che aveva il punto medio del segmento che collega l'ortocentro con il circocentro ... sai quali sono? Anzi, modifico: sapete quali sono? (a te non lo chiedo perchè lo sai di sicuro ... )

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Mi sono ricordato di un cerchio citato tempo fa da orsoulx in una discussione sul Sangaku e sarebbe ...

... il cerchio di Apollonio, che è un cerchio tangente ad altri tre cerchi a loro volta tangenti a due a due.
Il raggio di questo quarto cerchio si può ricavare da quello degli altri tre e in questo caso vale $30$ ...

Cordialmente, Alex

[domino.h4ck]

Domanda: dallo script risulta quell'unico punto?

[orsoulx]

In sintonia con Alex, ritengo che Erasmus abbia trovato le misure dei lati proposti, partendo dalla terna pitagorica $ 3, 4, 5 $ e cercando il centro $ P $ della circonferenza tangente esternamente alle tre circonferenze, a coppie mutuamente tangenti, aventi centro in un vertice e raggio uguale ai segmenti di tangenza condotti da quel vertice alla circonferenza inscritta nel triangolo. Le distanze di $ P $ dai vertici del triangolo saranno sicuramente razionali: si dimostra facilmente che questo avviene sse l'area del triangolo è razionale, e questo è, ovviamente, vero per un triangolo pitagorico. Il passaggio dai razionali agli interi ha imposto le misure presentate.
Con un po' di algebra elementare si può dimostrare che, partendo da una qualsiasi terna pitagorica primitiva di generatori $ {n,m} $, lati $ a=m^2-n^2, b=2nm, c=n^2+m^2 $, semiperimetro $p=m(m+n) $, raggio del circonferenza inscritta $ r=n(m-n) $, per ottenere distanze intere basta moltiplicare i lati per $ k=3p+c $ ed il rettangolo avente per lati le distanze di $ P $ dai cateti sarà diviso da una sua diagonale in due triangoli pitagorici $ r cdot {m, n+2m} $.
Per la terna $ 3, 4, 5 $ di generatori $ {1,2} $, abbiamo $ k=23, r=1 $ da cui risulta $ {2,5} rightarrow 21, 20, 29 $. L'ulteriore moltiplicazione per $ c=5 $ consentirà di rendere intera anche la distanza dall'ipotenusa: il punto $ P $ disterà quindi $ 105 $ dal cateto pari e $ 100 $ da quello dispari.
NB Nel caso in cui $n$ sia pari si possono ridurre le misure dividendole per $ n$.
Una costruzione simile (con qualche prodotto aggiuntivo) è applicabile a qualsiasi triangolo di lati ed area interi.

Ciao

[Erasmus_First]

"axpgn":[...] qualche tempo fa avevo letto delle proprietà che aveva il punto medio del segmento che collega l'ortocentro con il circocentro ... sai quali sono? Anzi, modifico: sapete quali sono? (a te non lo chiedo perchè lo sai di sicuro ... )

No, non lo so! E mi pare di non averlo mai saputo.
Dico coisì perché, essendo ormai "smemorino", non solo ho dimenticato (tra l'altro, ... mooolto altro!) parecchie nozioni di matematica, ma anche se mai mi sono state insegnate e/o se mai le ho inconrate nella mia ormai lunga vita.
Beh: dato che tu pensi che il punto medio del segmento di estremi ortocentro e circocentro ha qualche notevole proprietà che tu né io sappiamo ma che siano note a qualche lettore ... si faccia avanti qualcuno ne che sa (o ricorda) più di me.
[...]
Oops!
Vedo ora che c'è una risposta di orsoulx. Probabilmente (come sua consuetudine) viene a dirci qualcosa in più (e ... più in su!) di quanto già detto o già visto
.
Sospendo e vado a leggere orsoulx .
Ciao Alex, ciao a tutti!
_________

[axpgn]

"Erasmus_First":... dato che tu pensi che il punto medio del segmento di estremi ortocentro e circocentro ha qualche notevole proprietà che tu né io sappiamo ma che siano note a qualche lettore ...

No, no, io lo so quali proprietà ha ... ... magari qualcuno riesce a scoprirle ...

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

@ orsoulx
Mi piacerebbe vedere la dimostrazione di una tua affermazione, quella che metto in spoiler.

"orsoulx":Le distanze di $ P $ dai vertici del triangolo saranno sicuramente razionali: si dimostra facilmente che questo avviene sse l'area del triangolo è razionale

Ti ringrazio in anticipo.

@ Erasmus e axpgn
Per la retta in questione, io ricordo solo che si chiamava retta di Eulero; ho visto che Wikipedia ne parla, ma ora non ho tempo (né voglia) di leggerla.

[orsoulx]

@giammaria:

Siano $ a,b,c$ i lati (di misura intera) di un triangolo e $ s=p-a, t=p-b, u=p-c $ le lunghezze dei segmenti di tangenza che escono da ciascun vertice, questi sono anche i raggi di tre circonferenze con centro nei vertici e mutuamente tangenti a coppie. Per il T di Descartes, il raggio $ i $ della circonferenza tangente esternamente alle tre soddisfa la relazione:
$1/i=1/s+1/t+1/u+2 sqrt(1/(st)+1/(tu)+1/(us))=1/s+1/t+1/u+2/r $, con $r$ raggio della circonferenza inscritta nel triangono.
[Il radicando si può scrivere $(u+s+t)/(stu)=p/(stu)=p^2/(pstu)=p^2/A^2 $ (T. di Erone)].
Essendo le distanze di P dai vertici somme di $ i $ con $ s,t,u $ rispettivamente...

Ciao

[Erasmus_First]

"Erasmus_First":[quote="axpgn"][...] qualche tempo fa avevo letto delle proprietà che aveva il punto medio del segmento che collega l'ortocentro con il circocentro ... sai quali sono? Anzi, modifico: sapete quali sono? (a te non lo chiedo perchè lo sai di sicuro ... )

No, non lo so! E mi pare di non averlo mai saputo.
Dico coisì perché, essendo ormai "smemorino", non solo ho dimenticato (tra l'altro, ... mooolto altro!) parecchie nozioni di matematica, ma anche se mai mi sono state insegnate e/o se mai le ho inconrate nella mia ormai lunga vita.
Beh: dato che tu pensi che il punto medio del segmento di estremi ortocentro e circocentro ha qualche notevole proprietà che tu né io sappiamo ma che siano note a qualche lettore ... si faccia avanti qualcuno che ne sa (o ricorda) più di me.
[...]
Oops!
Vedo ora che c'è una risposta di orsoulx. Probabilmente (come sua consuetudine) viene a dirci qualcosa in più (e ... più in su!) di quanto già detto o già visto
.
Sospendo e vado a leggere orsoulx .
Ciao Alex, ciao a tutti!
_________

[/quote]

[Erasmus_First]

"orsoulx":

In sintonia con Alex, ritengo che Erasmus abbia trovato le misure dei lati proposti, partendo dalla terna pitagorica $ 3, 4, 5 $ e cercando il centro $ P $ della circonferenza tangente esternamente alle tre circonferenze, a coppie mutuamente tangenti, aventi centro in un vertice e raggio uguale ai segmenti di tangenza condotti da quel vertice alla circonferenza inscritta nel triangolo. Le distanze di $ P $ dai vertici del triangolo saranno sicuramente razionali: si dimostra facilmente che questo avviene sse l'area del triangolo è razionale, e questo è, ovviamente, vero per un triangolo pitagorico. Il passaggio dai razionali agli interi ha imposto le misure presentate.

Ho proceduto proprio così!
[Lo si capisce anche da quel che ho scritto per giammaria nel precedente post ]
Tre cerchi di raggi rispettivi 1, 2 e 3 sono tangenti a due a due se e solo se i loro centri stanno ai veertici di un triangolo rettangolo di lati [3, 4, 5]. Incastrato tra i tre cerchi ci sta un cerchietto tangente a tutti tre di raggio $r = 6/23$.
Ho allora moltiplicato tutto per 23 per avre intere le distanze del centro del cerchietto [incastrato negli altri tre] dai vertici. Vistio che che in tal modo vengono intere anche le distanze dai cateti ma non intera quella dall'ipotenusa, ho moltiplicato tutto per il minimo intero che rendesse intera anche quest'ultima distanza (cioè per 5).

Dati [nel piano] tre cerchi tangenti a due a due, il problema di trovare il raggio di un cerchio tangente a tutti quei tre risulta algebrico di 2° grado. In generale ci sono dunque due cerchi di raggi diversi entrambi tangenti a quei tre cerchi. Uno è quello appena detto (incastrato tra i tre cerchi, e quindi tangente esternamente a loro e di raggio minore di ciascono di loro). L'altro, a seconda delle reciproche dimensioni dei tre cerchi, può essere tangente internamente [a tutti quei tre, che quindi stanno dentro a lui) oppure essere ancora tangente esternamente (se uno di quei tre è abbastanza piccolo rispetto agli altri due) o anche degenerare in una retta [tangente a tutti e tre quei cerchi, e da considerare come cerchio di raggio infinito].

Dai punti esterni ad un cerchio questo è visto "convesso". Invece è visto "concavo" dai suoi punti interni, Tale è per i tre cerchi tangenti a due a due l'eventuale cerchio tangente internamente a tutti e tre. Con la convenzione di considerare negativo il raggio di un eventuale cerchio tangente internamente ai tre cerchi tangenti a due a due, detti a, b e c i raggi di questi ed $r$ il raggio di un cerchio tangente a tutti e tre, fatti i dovuti conti risulta:
$1/r = 1/a + 1/b + 1/c ±2sqrt(1/(ab) + 1/(bc) + 1/(ca))$.

"orsoulx":[...] questo avviene sse l'area del triangolo è razionale

. "questo" coeme si legge nel testo originale citato più opara) era il fatto che fossero razionali le distanze del centro del quarto cerchio (quello incastrato tra i tre cerchi tangenti a due a due) dai centri di essi.
Qui orsoulx sottintende che anche i lati del triangolo sono pure razionali. Vedo ora che invece lo dice espressamente nella spiegazione data su specifica richiesta d giammaria. A rigore, la precisazione non è necessaria [dato che le distanze tra il centro di un cerchio ed i centri di più cerchi a lui tangenti non possono essere commensurabili con tutti i raggi di quelli se i loro raggi non sono pure tutti commensurabili. Tuttavia penso che non sia male precisare espressamente che i lati del triangolo (cioè le distanze tra i centri dei tre cerchi tangenti a due a due) sono razionali (come appunto precisa orsoulx nella speigazione per giammaria)
_________

[axpgn]

@Erasmus
Qual è il senso del post in cui hai quotato per intero il tuo messaggio precedente senza aggiungere niente di nuovo?

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

@ axpgn (Alex)
[ot]

"axpgn":@Erasmus
Qual è il senso del post in cui hai quotato per intero il tuo messaggio precedente senza aggiungere niente di nuovo?

La "cosa" la vedo solo ora perché solo ora ho letto questa tua domanda!
Probablmente – ... tiro ad indovinare come possa essere successo – quando ho inviato la prima volta il messaggio è partito ed arrivato, ma sul mio computer (che deve avere qualcosa di strano, forse qualche virus, perché ogni tanto mi fa degli scherzi incomprewnsibili) è rimasta la pagina con la finestra di scrittura del testo come se avessi solo provato un "anteprima". E allora, tempo dopo (quando ho scritto un altro intervento) – occhio: sto solo facendo supposizioni – vedendo ancora il testo nella finestra di scrittura, ho cliccato "invia" come se fosse la prima volta.
Caro Alex ... non sempre quel che faccio ha una spiegazione logica collegata alla mia volontà. Per esempio, se inciampo e casco, gli effetti della caduta avranno sì una loro logica, ma indipendente dalla mia volontà. A volte questo succede anche qua. I mie lapsus sono ormai frequenti ... e va a vedere cos'è etimologicamente un lapsus! [/ot]

[axpgn]

E io che speravo ci fosse dietro qualche tua solita interessante considerazione ... peccato!

Ciao e Buona Notte, Alex

P.S.: ... però alle quattro di notte è più facile accadano cose strane ...

P.P.S.: ah, dimenticavo ... la mia domanda resta ancora non del tutto "evasa", anche se giammaria ha dato una bella dritta