Dimostrare che fa SEI

[Erasmus_First]

Ispirato dal quiz di dan95 «Per quali n è razionale», m'è venuto in mente di fabbricare un quiz come questo:

[size=110]«Posto $$x = \sqrt[3]{54+30\sqrt3}+\sqrt[3]{54-30\sqrt3},$$
comodo calcolare con i mezzi di calcolo automatico moderni quanto fa $x$ .

Dimostrare che x vale esattamente quel valore lì! » [/size]
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[@melia]

Provo. Su queste cose riuscite sempre a mettermi in difficoltà, ma stavolta credo di avercela fatta.

$x = root(3)(54+30sqrt3)+root(3)(54-30sqrt3)$ elevo tutto al cubo e ottengo, dopo un po' di calcoli,
$x^3=108+18(root(3)(54+30sqrt3)+root(3)(54-30sqrt3))$ che posso scrivere come $x^3=108+18x$, risolvo l'equazione con Ruffini e l'unica soluzione reale è $x=6$

[MementoMori2]

L'ultimo metodo è furbissimo, grazie

[dan952]

Poniamo $x=\root[3]{54+30\sqrt{3}}$ e $y=\root[3]{54-30\sqrt{3}}$, dunque:
$$x^3+y^3=108=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$
Sostituiamo $u=x+y$, si ha $108=u(u^2-18)$, cioè $u^3-18u-108=0$, che ha come radice $x=6$. Per velocizzare i conti.