Differenza simmetrica
In un cerchio di raggio R, fissato un diametro d ed il diametro ad esso ortogonale d', si inscrivano due rettangoli A e B con i lati paralleli a d e a d', e tali che la base di A ha la stessa lunghezza dell'altezza di B, mentre l'altezza di A ha la stessa lunghezza della base di B (d e d' sono assi di simmetria per A e B).
Trovare il rapporto tra l'altezza e la base per cui l'area della differenza simmetrica tra A e B sia massima.
Trovare il rapporto tra l'altezza e la base per cui l'area della differenza simmetrica tra A e B sia massima.
Risposte
Cosa intendi per "differenza simmetrica" ?
Io ho svolto l'esercizio pensando che fosse l'area non in comune fra i due rettangoli, cioè l'area dei quattro rettangolini laterali. Indicando con $b,h$ base ed altezza del rettangolo avente $h>b$, trovo che il massimo si ha per
$h/b=1+sqrt2$
Ho però usato l'analisi e mi piacerebbe vedere una soluzione che non ne faccia ricorso.
Io ho svolto l'esercizio pensando che fosse l'area non in comune fra i due rettangoli, cioè l'area dei quattro rettangolini laterali. Indicando con $b,h$ base ed altezza del rettangolo avente $h>b$, trovo che il massimo si ha per
$h/b=1+sqrt2$
Ho però usato l'analisi e mi piacerebbe vedere una soluzione che non ne faccia ricorso.
Intendevo quello, potresti postare la tua soluzione intanto?
La differenza simmetrica è il complementare dell'intersezione nell'unione.
@marco.ve: che strumenti ritieni ammissibili? L'analisi a livello liceale è possibile?
Non ho fatto calcoli ma a occhio direi che l'area dell'intersezione è pari al quadrato della lunghezza della base minore. Quindi la differenza simmetrica dovrebbe avere area \(2m(M-m)\), che puoi scrivere trigonometricamente come \(8\sin\theta\cdot(\cos\theta - \sin\theta)\) dove \(0\le\theta\le\pi/4\).
@marco.ve: che strumenti ritieni ammissibili? L'analisi a livello liceale è possibile?
Non ho fatto calcoli ma a occhio direi che l'area dell'intersezione è pari al quadrato della lunghezza della base minore. Quindi la differenza simmetrica dovrebbe avere area \(2m(M-m)\), che puoi scrivere trigonometricamente come \(8\sin\theta\cdot(\cos\theta - \sin\theta)\) dove \(0\le\theta\le\pi/4\).
Col metodo di vic85 si può evitare l'analisi, e mostro come. Col mio ho rifatto i calcoli più attentamente ed ora mi viene un minimo, cosa del tutto assurda; non riesco però a trovare l'errore e lo mando nella speranza che qualcuno me lo indichi. In entrambi i metodi, uso $b,h$ con $h>b$.
Metodo di vic85
Con $h=2Rcosx; b=2Rsinx$, la funzione è
$f(x)=8R^2sinx(cosx-sinx)=8R^2sinx*sqrt2(1/sqrt2cosx-1/sqrt2sinx)$
$" "=8R^2sqrt2sinx(cosfrac pi 4cosx-sin frac pi 4 sinx)= 8R^2sqrt2 cos(x+pi/4)sinx$
$" "=8R^2sqrt2*1/2[sin(x+pi/4+x)-sin(x+pi/4-x)]=4R^2sqrt2[sin(2x+pi/4)-sqrt2/2]$
ed è massima quando
$2x+pi/4=pi/2" "->" "x=pi/8$
Perciò in condizione di massimo si ha
$h/b=cot frac pi 8=sqrt2+1$
Metodo mio
La diagonale dei rettangoli è un diametro, quindi
$b^2+h^2=4R^2$
Considerando che sia $h=h(b)$ e derivando ottengo
$2b+2h(dh)/(db)=0" "->" "(dh)/(db)=-b/h$
Ognuno dei rettangolini ha per lati $b$ e $(h-b)/2$, quindi dobbiamo rendere massima
$f(b)=4*b*(h-b)/2=2(bh-b^2)$
e si ha
$f'(b)=2(h+b(dh)/(db)-2b)=2(h-b^2/h-2b)=2(h^2-b^2-2bh)/h$
La derivata è positiva se
$h^2-2bh-b^2>0$
Le soluzioni dell'equazione sono $h=b(1+-sqrt2)$ e la disequazione è soddisfatta esternamente al loro intervallo, quindi in $h=b(1+sqrt2)$ c'è un minimo. ASSURDO; anche il solo buonsenso dice non può essere così.
Metodo di vic85
Con $h=2Rcosx; b=2Rsinx$, la funzione è
$f(x)=8R^2sinx(cosx-sinx)=8R^2sinx*sqrt2(1/sqrt2cosx-1/sqrt2sinx)$
$" "=8R^2sqrt2sinx(cosfrac pi 4cosx-sin frac pi 4 sinx)= 8R^2sqrt2 cos(x+pi/4)sinx$
$" "=8R^2sqrt2*1/2[sin(x+pi/4+x)-sin(x+pi/4-x)]=4R^2sqrt2[sin(2x+pi/4)-sqrt2/2]$
ed è massima quando
$2x+pi/4=pi/2" "->" "x=pi/8$
Perciò in condizione di massimo si ha
$h/b=cot frac pi 8=sqrt2+1$
Metodo mio
La diagonale dei rettangoli è un diametro, quindi
$b^2+h^2=4R^2$
Considerando che sia $h=h(b)$ e derivando ottengo
$2b+2h(dh)/(db)=0" "->" "(dh)/(db)=-b/h$
Ognuno dei rettangolini ha per lati $b$ e $(h-b)/2$, quindi dobbiamo rendere massima
$f(b)=4*b*(h-b)/2=2(bh-b^2)$
e si ha
$f'(b)=2(h+b(dh)/(db)-2b)=2(h-b^2/h-2b)=2(h^2-b^2-2bh)/h$
La derivata è positiva se
$h^2-2bh-b^2>0$
Le soluzioni dell'equazione sono $h=b(1+-sqrt2)$ e la disequazione è soddisfatta esternamente al loro intervallo, quindi in $h=b(1+sqrt2)$ c'è un minimo. ASSURDO; anche il solo buonsenso dice non può essere così.
Ho intuito dov'è il mio errore ma non saprei precisarlo meglio e ringrazio fin d'ora chi vorrà farlo.
L'errore consiste nel fatto che alla fine ho considerato il rapporto $h/b$, che decresce al crescere di $b$: c'è quindi un cambiamento di segno nella derivata.
A maggior conferma, ho provato con la sostituzione $h=sqrt(2r^2+x); b=sqrt(2r^2-x)$, con $0<=x<=2r^2$: i calcoli diventano facili ed in condizione di massimo si ha quel rapporto. Ho poi provato a riportarmi alle grandezze iniziali ed ho trovato
$f'(x)=-2(h^2-b^2-2bh)/(2bh)$
C'è' il cambiamento di segno a cui mi riferivo sopra.
L'errore consiste nel fatto che alla fine ho considerato il rapporto $h/b$, che decresce al crescere di $b$: c'è quindi un cambiamento di segno nella derivata.
A maggior conferma, ho provato con la sostituzione $h=sqrt(2r^2+x); b=sqrt(2r^2-x)$, con $0<=x<=2r^2$: i calcoli diventano facili ed in condizione di massimo si ha quel rapporto. Ho poi provato a riportarmi alle grandezze iniziali ed ho trovato
$f'(x)=-2(h^2-b^2-2bh)/(2bh)$
C'è' il cambiamento di segno a cui mi riferivo sopra.
HO TROVATO L'ERRORE!
Ho derivato rispettoa $b$, quindi anche la disequazione va risolta rispetto a $b$. Ordinando secondo questa lettera e cambiando i segni, trovo che $f'(b)>0$ se
$b^2+2bh-h^2<0$
ed è immediato concludere che si ha un massimo per $b=h(-1+sqrt2)$, cioè quando
$h/b=1/(sqrt2-1)=sqrt2+1$
Mille scuse a tutti.
Ho derivato rispettoa $b$, quindi anche la disequazione va risolta rispetto a $b$. Ordinando secondo questa lettera e cambiando i segni, trovo che $f'(b)>0$ se
$b^2+2bh-h^2<0$
ed è immediato concludere che si ha un massimo per $b=h(-1+sqrt2)$, cioè quando
$h/b=1/(sqrt2-1)=sqrt2+1$
Mille scuse a tutti.
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