Dieta armonica

[axpgn]

La serie armonica, si sa, diverge.
Ma se noi rimuoviamo tutti i termini che contengono almeno una cifra $9$ nel denominatore, la serie converge.

Dimostrazione?


Cordialmente, Alex

[dan952]

Sia $n$ intero positivo e $n_9$ la sua scrittura in base 9, allora

$n_9 \geq 10^{\floor(\log_9(n))-1} \geq 10^{\log_9(n)-2}=n^(\log_9(10))/100$

Da cui

$\sum_{n_9 \geq 1} 1/n_9 \leq \sum_{n \geq 1}100/n^(\log_9(10))$

Per il teorema del confronto converge.

[axpgn]

Come spesso mi capita, per i miei limiti, non mi è molto chiaro il tuo ragionamento
Il dubbio principale però consiste in questo: non capisco perché usi la rappresentazione in base $9$ ma soprattutto che differenza c'è tra $n_9$ e $n$: rappresentazione a parte, il numero è lo stesso quindi nei calcoli e nelle relazioni cosa cambia?
In particolare se sommi tutti gli $1/n_9$ di fatto stai sommando tutti gli $1/n$ ovvero stai contando anche gli $1/n$ che invece dovrebbero esclusi dalla condizione richiesta.
Isn't it?

Cordialmente, Alex

[dan952]

@axpgn

Esempio:
$n=9$ corrisponde $n_9=10$
$n=10$ corrisponde $n_9=11$
$n=11$ corrisponde $n_9=12$
....
$n=18$ corrisponde $n_9=20$
$n=19$ corrisponde $n_9=21$
E così via

Scrivendo tutti i numeri in base 9 eliminiamo tutti i numeri che contengono almeno una volta la cifra 9

Per farti capire, in base 9 ad un certo punto $n_9$ cresce più velocemente di $n$, ad esempio

$n=531441$ corrisponde a $n_9=1000000$

Ed effettivamente

$1000000 \geq 10^{\floor(\log_9(531441))-1)=10^5$

[axpgn]

Ma no che non li elimini ... i numeri sono gli stessi, è la loro rappresentazione che cambia.

Il numero $1000000_9$ è uguale a $531441_(10)$ anzi è proprio lo stesso numero, partendo da $1_9=1_(10)$ e arrivando a $1000000_9=531441_10$ la "quantità" di numeri è la stessa ovvero $531441_(10)$.
Se sommi i loro inversi, sia in un modo che nell'altro stai includendo anche $1/9, 1/19, ..., 1/99, 1/191, ...$ (in decimale ovviamente) che invece vanno esclusi.

Non capisco ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

@dan95
Detto in altro modo, nella tua sommatoria in base $9$ sommi tutti i numeri in base $9$ quindi, per esempio, avrai $...+1/8+1/10+1/11+...$ ma così facendo hai sommato anche $1/9$ in decimale che invece va escluso.

[dan952]

Trattiamo i numeri in base 9 come se fossero numeri decimali.

Per esempio il $9_10=10_9$ ma $10_9$ è visto proprio come $10$ in decimale quando vado a fare i conti. Tradurre tutto in base 9 è una scorciatoia per eliminare tutti i decimali che contengono almeno una volta la cifra 9.

[axpgn]

"dan95":Trattiamo i numeri in base 9 come se fossero numeri decimali.

Ecco, questo è un "piccolo" dettaglio che avevi tralasciato ...
Però ora mi deve descrivere bene come hai fatto i conti perché ora mi è meno chiaro di prima il ragionamento che hai fatto ... ... diventa difficile capire quali "numeri" stai usando in un dato punto piuttosto che in un altro ... almeno per me ...

[dan952]

Se scriviamo un numero decimale $n$ in base 9 questo avrà $\floor{\log_9(n)}$ cifre decimali e quindi sia $n_9$ la sua scrittura in base 9 allora

$n_9 \geq 10^{\floor{\log_9(n)}-1}$

Da cui tutto il seguito...

[axpgn]

L'ho capito benissimo quello ma, per esempio, quella disuguaglianza vale allo stesso modo anche per $n$ non solo per $n_9$ e quindi? Boh!

[dan952]

Non ho capito la domanda Alex

Vale solo per $n_9$. Bisogna considerare $n_9$ come un decimale la notazione forse può creare ambiguità ma semplicemente si tratta della scrittura in base 10 di $n$ convertito in base 9. Spero di essermi spiegato

[axpgn]

Esempio:

$n=123=146=n_9$

$log_9 n = log_9 123 = 2.19$

$\floor(2.19)-1=1$

$10^1=10$

quindi sia $123>10$ sia $146>10$

Dove sta la differenza?

Perché poi segue che pure tutto il resto è uguale.

Cordialmente, Alex

[dan952]

Infatti come pensavo era la notazione $n_9$ ad aver creato ambiguità.

Se $n=10$ corrisponde a $n_9=11$ ma devono essere considerati distinti nel senso che $n_9$ corrisponde a $n$ convertito in base 9 ma è da considerarsi in base 10.

Prendiamo il tuo esempio

$n_9=146>n=123$

$n_9=146>10^{\floor(\log_9(123))-1}=10>\frac{123^{\log_9(10)}}{100}$

[axpgn]

Sì ma anche $123>10$ e quindi è vera anche $123>\frac{123^{\log_9(10)}}{100} $ e perciò continuo a non capire il senso di tutto ...

Sorry, ma non ne vengo fuori ..

.

[dan952]

Prova per $n$ molto grandi e vedrai che $n_9$ è diversi ordini di grandezza più grande e quindi quella disuguaglianza vale per $n_9$ e non per $n$.

[axpgn]

Può darsi ... ...

Comunque meglio questa (quantomeno per la sezione )


La serie "ridotta" è

[size=85] $S=(1/1+...+1/8)+(1/10+...+1/18+1/20+...+1/28+...+1/80+...+1/88)+(1/100+...+1/888)+...$[/size]

In ogni parentesi, sostituiamo ogni termine con il più grande della parentesi (così ingrassa un po')

[size=85] $S<(1/1+...+1/1)+(1/10+...+1/10+1/10+...+1/10+...+1/10+...+1/10)+(1/100+...+1/100)+...$[/size]

per cui

$S<9(1)+9^2(1/10)+9^3(1/100)+...$

$S<9[1+9/10+(9/10)^2)+...]$

$S<9/[1-9/10]$

$S<90$

E poi il criterio del confronto non lo conoscono alle Superiori ...

Cordialmente, Alex

[dan952]

Molto carina

[axpgn]

È carino anche il fatto che puoi utilizzarla per qualsiasi cifra al posto del nove ...