Dalle olimpiadi della matematica 2015

[cpao]

Ciao a tutti,
non riesco a risolvere il seguente quesito posto in occasione delle olimpiadi della matematica 2015:

Un triangolo ha una mediana e una bisettrice perpendicolari e lunghe rispettivamente 8 e 7, calcolare l'area.


Idee?!

[consec]

Premettendo che ho ragionato senza figura davanti, quindi molto probabilmente mi sbaglio... la risposta è 42?

[cpao]

Esattamente! Come hai fatto?!

[consec]

Innanzitutto, notiamo che la bisettrice e la mediana di cui parla il problema non possono essere quelle condotte da uno stesso vertice, in quanto esse sarebbero incidenti nel suddetto vertice: poiché l'angolo compreso tra bisettrice e mediana è minore della metà dell'angolo, l'angolo del triangolo sarebbe maggiore di $180$ (assurdo).
Detto questo, sia $ABC$ un triangolo che verifica le ipotesi del problema. Si conduca da $A$ la bisettrice, che incontra il lato $BC$ nel punto $K$ e da $B$ la mediana che intercetta il lato $AC$ nel punto $M$. Sia $O$ il punto in comune a mediana e bisettrice.
Consideriamo i triangoli $AOB$ e $AOM$, che sono rettangoli in $O$, con il cateto $AO$ in comune e l'angolo $B\hat AO$ congruente a $M\hat AO$. I due triangoli sono dunque congruenti, e hanno in particolare $AB=AM$ e $BO=OM$. $O$ è quindi il punto medio della mediana, e i due segmenti sono lunghi $4$.
Consideriamo il triangolo $ABK$. Il segmento $BO$ è altezza del triangolo rispetto alla base $AK$. L'area del triangolo è quindi $(4×7)/2=14$. Mandiamo ora da $K$ le due distanze ai lati $AB$ e $AC$, che per le proprietà delle bisettrici sono uguali. La distanza dal lato $AB$ è anche altezza relativa al lato $AB$ del triangolo $ABK$, di area nota. Poiché abbiamo precedentemente dimostrato che $AB$ è uguale alla metà di $AC$, il triangolo $AKC$ ha altezza uguale e base doppia rispetto al triangolo $AKB$, dunque ha area doppia, ossia $28$. Osservando che $ABC = AKB + AKC$, si conclude che l'area totale è $42$.

[cpao]

Chiarissimo! Mi mancava quella proprietà delle bisettrici che hai usato..
Grazie mille!