Cubi

[axpgn]

Trovare tutte le soluzioni in interi dell'equazione $x^3+2y^3=4z^3$

Cordialmente, Alex

[Vincent46]

$(\int_4^4 44 \ \text{d}x, \int_4^4 44 \ \text{d}x, \int_4^4 44 \ \text{d}x)$

[axpgn]

Eh, no, non basta
Voglio la dimostrazione

Cordialmente, Alex

[Vincent46]

Discesa infinita. Sia $(x_0, y_0, z_0)$ soluzione di interi. L'equazione implica che $x_0$ sia pari, dunque $x_0=2x_1$ (con $x_1$ intero); dunque si ha
$8 x_1^3 + 2y_0^3 = 4z_0^3$
cioé
$4 x_1 ^3 + y_0^3 = 2 z_0^3$
che implica che $y_0 = 2y_1$ sia pari. Dunque
$2 x_1^3 + 4 y_1^3 = z_0^3$
e, ripetendo il ragionamento per $z_0 = 2z_1$, si ha
$x_1^ 3 + 2 y_1^3 = 4 z_1^3$.
Perciò, se $(x_0, y_0, z_0)$ è soluzione di interi, lo è anche $(\frac {x_0}{2}, \frac {y_0}{2}, \frac {z_0}{2})$. È chiaro che l'unica possibilità sia la soluzione banale

[axpgn]

Uguale, uguale alla mia

[ot]Ma d'ora in poi lo scrivi sempre così? È un po' scomodo [/ot]

Cordialmente, Alex

[Vincent46]

[ot]Eeeh, lo stile richiede sacrifici [/ot]

[axpgn]