Costruire un triangolo dati due lati e l'altezza relativa al terzo

[Sk_Anonymous]

Costruire con solo riga e compasso un triangolo di cui si conoscono le ampiezze di due lati e dell'altezza relativa al terzo lato.

[Pachisi]

Provo:

Sia $h$ la misura dell'altezza, $a$ e $b$ le misure dei lati.
Tracciamo un segmento $AH=h$. Traccio la perpendicolare ad $AH$ passante per $H$. Poi, traccio un circonferenza di centro $A$ e raggio $a$ ed una di raggio $b$. Chiamo $B$ e $C$ i punti ottenuti, rispettivamente. il triangolo $ABC$ è quello cercato.
Notiamo che se $ah$ e $b>h$, il problema ha due soluzioni.

[Sk_Anonymous]

Soluzione impeccabile.
Per chi volesse cercare ancora, c'è na soluzione diversa.


PS
Ed è interessante, secondo me, anche trovare le condizioni necessarie per l'esistenza della soluzione.
Come ancora più interessante è il problema con la bisettrice al posto della altezza.

[Sk_Anonymous]

Le condizioni necessarie di esistenza soluzioni per questo problema e per gli omologhi in cui al posto dell'altezza c'è la bisettrice o mediana sono le seguenti:

l_A =< 2/(1/c+1/b), cioé la bisettrice deve essere minore della media armonica dei due lati;
m_A =< (c+b)/2, cioé la mediana deve essere minore della media aritmetica dei due lati;
h_A =< (c*b)^0,5, cioé l'altezza deve essere minore della media geometrica dei due lati.