Coppia di interi

[axpgn]

Consideriamo la seguente coppia $M, N$ di interi positivi di quattro cifre: $(M,N)=(3600,2500)$

Come si può notare sono entrambi quadrati perfetti, hanno cifre uguali in due posizioni (le stesse) e due cifre differenti nelle altre due posizioni; inoltre, quando la cifra differisce, la cifra in $M$ è maggiore di $1$ della corrispondente cifra di $N$.

Trovare tutte le coppie di interi positivi di quattro cifre che hanno le suddette proprietà.



Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Pongo $N=x^2; M=y^2$, con $y>x>0$. Essendo numeri di 4 cifre, si ha
$x^2>=1000->x>=sqrt 1000>31$
$y^2<10000->y Indico con $a_i$ le cifre di $x^2$ e con $a_i+d_i$ quelle di $y^2$, quindi
$x^2=1000a_1+100a_2+10a_3+a_4$
$y^2=1000(a_1+d_1)+100(a_2+d_2)+10(a_3+d_3)+(a_4+d_4)$
e ne segue $y^2-x^2=1000 d_1+100d_2+10d_3+d_4$

Il primo membro si scompone in $(y+x)(y-x)$ e questi due fattori devono essere uguali a due fattori che danno il secondo membro. Essi devono avere la stessa parità e per il maggiore deve valere la
$2x 62
Poiché due $d_i$ valgono 0 e le altre due 1, distinguo 6 casi, a seconda di quali si annullano.
Caso 1: $d_1=d_2=0->d_3=d_4=1->y^2-x^2=11$
Non ci sono soluzioni perché 11 on ha divisori maggiori di 62.

Caso 2: $d_1=d_3=0->d_2=d_4=1->y^2-x^2=101$
Poiché 101 è primo, c'è l'unica soluzione
${(y+x=101),(y-x=1):}->{(x=50),(y=51):}->{(N=2500),(M=2601):}$

Caso 3: $d_1=d_4=0->d_2=d_3=1->y^2-x^2=110$
Non ci sono soluzioni perché 110 non è scomponibile in due fattori con la stessa parità.

Caso 4: $d_2=d_3=0->d_1=d_4=1->y^2-x^2=1001$
Poiché $1001=7*11*13$, i suoi divisori compresi fra 62 e 200 sono $7*11=77;7*13=91;11*13=143$. Ci sono quindi le tre soluzioni
${(y+x=77),(y-x=13):}->{(x=32),(y=45):}->{(N=1024),(M=2025):}$

${(y+x=91),(y-x=11):}->{(x=40),(y=51):}->{(N=1600),(M=2601):}$

${(y+x=143),(y-x=7):}->{(x=68),(y=75):}->{(N=4624),(M=5625):}$

Caso 5: $d_2=d_4=0->d_1=d_3=1->y^2-x^2=1010$
Non ci sono soluzioni perché 1010 non è scomponibile nel prodotto di due numeri con la stessa parità.

Caso 6: $d_3=d_4=0->d_1=d_2=1->y^2-x^2=1100$
e si ha $1100=2^2*5^2*11$. Entrambi i fattori devono essere pari, quindi il maggiore è divisibile per 2 ma non per 4; può stare fra 62 e 200 solo se vale $2*5*11=110$. C'è quindi l'unica soluzione
${(y+x=110),(y-x=10):}->{(x=50),(y=60):}->;{(N=2500),(M=3600):}$
che è quella data come esempio nell'enunciato.

[axpgn]

Perfetto!