Construct a triangle given an angle and two medians
http://math.stackexchange.com/questions ... wo-medians
1) Construct, with ruler and compass, a triangle ABC knowing the angle A and $m_a$ and $m_b$, where $m_a$ and $m_b$ are the medians relative to the vertices A and B, respectively.
2) Construct, with ruler and compass, a triangle ABC knowing the angle C and $m_a$ and $m_b$, where $m_a$ and $m_b$ are the medians relative to the vertices A and B, respectively.
PS
Il numero 2) è una "mia" variante.
1) Construct, with ruler and compass, a triangle ABC knowing the angle A and $m_a$ and $m_b$, where $m_a$ and $m_b$ are the medians relative to the vertices A and B, respectively.
2) Construct, with ruler and compass, a triangle ABC knowing the angle C and $m_a$ and $m_b$, where $m_a$ and $m_b$ are the medians relative to the vertices A and B, respectively.
PS
Il numero 2) è una "mia" variante.
Risposte
"sprmnt21":
http://math.stackexchange.com/questions/1002418/construct-a-triangle-given-an-angle-and-two-medians
1) Construct, with ruler and compass, a triangle ABC knowing the angle A and $m_a$ and $m_b$, where $m_a$ and $m_b$ are the medians relative to the vertices A and B, respectively.
Hint
Aggiungo un hint per il secondo punto.
"giammaria":
Aggiungo un hint per il secondo punto.
posso dire che sei stato un po' parco con il tuo suggerimento?
Volutamente ho detto poco perché era solo un suggerimento. Data la tua osservazione, aggiungo la quasi completa soluzione.
[quote=giammaria]Volutamente ho detto poco perché era solo un suggerimento. Data la tua osservazione, aggiungo la quasi completa soluzione.
Direi completa, senza "quasi".
PS
E' un piacere leggere le tue soluzioni.
Direi completa, senza "quasi".
PS
E' un piacere leggere le tue soluzioni.
Grazie per il complimento, ma io trovo parecchie lacune nella mia risposta: alcune parti sono affidate al lettore e do per scontate un paio di costruzioni di base, che avrei dovuto almeno nominare.
L'omissione più grave, secondo me, è poi il fatto che penso ad un'unica intersezione fra un arco ed una circonferenza, mentre in generale le intersezioni possono anche essere due o nessuna (o infinite quando sono sovrapposti, ma questo si esclude facilmente). Alcuni calcoli in analitica mi direbbero che la soluzione è una ed una sola, a parte le simmetrie e salvo miei errori; non saprei però giustificarlo in via sintetica.
L'omissione più grave, secondo me, è poi il fatto che penso ad un'unica intersezione fra un arco ed una circonferenza, mentre in generale le intersezioni possono anche essere due o nessuna (o infinite quando sono sovrapposti, ma questo si esclude facilmente). Alcuni calcoli in analitica mi direbbero che la soluzione è una ed una sola, a parte le simmetrie e salvo miei errori; non saprei però giustificarlo in via sintetica.
Quelli omessi sono dettagli di ordine inferiore.
Se qualcuno avesse necessità di una soluzione completa e dettagliata, può sempre chiedere.
Riguardo alla unicità della soluzione, a me ne risultano due in generale (ho seguito un ragionamento molto simile al tuo. Del resto per via sintetica non credo vi siano soluzioni sostanzialmente diverse)
).
Se qualcuno avesse necessità di una soluzione completa e dettagliata, può sempre chiedere.
Riguardo alla unicità della soluzione, a me ne risultano due in generale (ho seguito un ragionamento molto simile al tuo. Del resto per via sintetica non credo vi siano soluzioni sostanzialmente diverse)
).
Non trovo più i calcoli che avevo fatto per dire che la soluzione è unica, ma ricordo che erano lunghi e faticosi e non ho nessuna voglia di rifarli. E' possibilissimo che abbia ragione tu e che le soluzioni siano due; di sicuro però il problema è simmetrico rispetto alla retta $BG$ e quindi per ogni soluzione c'è anche la sua simmetrica. Forse è questa l'origine delle tue due soluzioni.
"giammaria":
Non trovo più i calcoli che avevo fatto per dire che la soluzione è unica, ma ricordo che erano lunghi e faticosi e non ho nessuna voglia di rifarli. E' possibilissimo che abbia ragione tu e che le soluzioni siano due; di sicuro però il problema è simmetrico rispetto alla retta $BG$ e quindi per ogni soluzione c'è anche la sua simmetrica. Forse è questa l'origine delle tue due soluzioni.
No. A me risultano due soluzione vere derivanti dalle due eventuali (lo metto seno qualcuno potrebbe correttamente obiettare che non è vero in generalke) intersezioni tra l'arco "dato" e la circonferenza "data".
Ora (in attesa di avere il tempo di fare un disegno su geogebra) provo a descrivere la situazione a parole (spero che abbiamo in mente la stessa configurazione , se no ti chiedo lo sforzo di adattamento
).si ha una soluzione se m_B/3 < 2/3m_A <4/3 m_B; due se 2/3m_A > 4/3 m_B ma minore del raggio della circonferenza di centro G e tangente internamente all'arco dato. Questo raggio si può calcolare con un po' di Pitagora e qualche relazione goniometrica, ma non lo farò nemmeno sotto tortura.
Non mi sembra di sostanziale importanza per questo problema.
"sprmnt21":
Non mi sembra di sostanziale importanza per questo problema.
D'accordo, anche se mi sembra strano il tuo "si ha una soluzione se $m_B/3 < 2/3m_A <4/3 m_B$": il problema parla nello stesso modo delle due mediane e la soluzione che ho dato vale anche scambiandole fra loro e quindi prendendo $D$ sul prolungamento di $AM_a$.
Comunque lasciamo perdere; ultimamente mi capita spesso di fare degli errori e, come ti ho detto, è possibilissimo che io abbia torto.
quella formula l'ho scritta ieri sera mentre giocavo con i bambini, quindi potrebbe essere contaminata.
ti allego una figura con una configurazione particolare (che non contempla ovviamente tutte le casistiche. Ad esempio ci sarebbe da vedere come vanno le cose se
ti allego una figura con una configurazione particolare (che non contempla ovviamente tutte le casistiche. Ad esempio ci sarebbe da vedere come vanno le cose se
"sprmnt21":
quella formula l'ho scritta ieri sera mentre giocavo con i bambini, quindi potrebbe essere contaminata.
infatti non è completa:
i gli intervalli in cui si hanno due soluzioni sono due (angolo
PS
continuo a non capire il motivo per cui ti sembrano importanti questi aspetti. A me semrbano un po' pallosi.
Sì, la tua figura mostra chiaramente che in quel caso ci sono due soluzioni. Il tuo ultimo intervento mi è poco chiaro e mi limito ad interpretarlo nel senso di "succede anche in un altro caso". Ribadisco però il fatto che la distinzione fra il numero di soluzioni deve essere simmetrica rispetto alle due mediane perché tale è il problema: qualunque calcolo o ragionamento porti ad una conclusione diversa è certo sbagliato. E' come se un sistema simmetrico in due incognite avesse soluzioni non simmetriche.
Io do una certa importanza alla discussione dei problemi ma concordo pienamente con te nel ritenere che in questo caso è molto pallosa; dimentichiamola.
Io do una certa importanza alla discussione dei problemi ma concordo pienamente con te nel ritenere che in questo caso è molto pallosa; dimentichiamola.
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