Confronto tra grandi potenze

[Sk_Anonymous]

Chi è più grande tra $17^14$ e $31^11$?

[Pachisi]

$31^11<34^11=17^11 \cdot 2^11<17^11 \cdot 17^3=17^14$, visto che $2^11=2048<4913=17^3$.

[Sk_Anonymous]

c'è una soluzione ancora un po'più "diritta"

[Erasmus_First]

"sprmnt21":Chi è più grande tra $17^14$ e $31^11$?

Il logaritmo (in base qualsiasi purché maggiore di 1) è una funzione monotona crescente, per cui, se $a$ e $b$ sono reali positivi:
$ln(b) > ln(a) ⇒ b > a$.
Si trova
$ln(17^14) = 14·ln(17) ≈ 14·2,833 ≈39,665$;
$ln(31^11) = 11·ln(31) ≈ 11·3,434 ≈ 37,774$.
Ergo:
$17^14 > 31^11$.
–––––––
Oppure:
Posto $k = 17^14/31^11$, essendo $14 = 12,5 + 1,5$ e $11 = 12,5 – 1,5$, abbiamo
$k = 17^14/31^11 = (17·31)^(1,5)/(31/17)^(12,5) = sqrt(527^3)/sqrt(1,82352941176471^25) ≈ 12098/1826 > 1$.
Ergo:
$17^14 > 31^11$.
_______

[veciorik]

$17^14>16^14=16^11*16^3=16^11*2^12=16^11*2^11*2=32^11*2>31^11$

[Sk_Anonymous]

@veciorik:
C'è (almeno) una soluzione leggermente più "diritta".

[orsoulx]

$ 31^11<32^11=2^55<2^56=16^14<17^14 $

[Sk_Anonymous]

eccola!

"orsoulx":

$ 31^11<32^11=2^55<2^56=16^14<17^14 $

più "diritta" diquesta non ce n'è, o no?