Circonferenza inscritta

[giammaria2]

Questo problema si ispira a quello recentemente proposto da ciromario ma ha soluzione diversa.

Del triangolo qualsiasi $ABC$ si sa che $BC=13$ e che $AB-AC=7$. Detto $T$ il punto in cui $BC$ tocca la circonferenza inscritta, calcolare $BT$ oppure dire che i dati forniti sono insufficienti.

[Luca114]

Tento una soluzione.

Disegno il triangolo $ABC$ disponendo le lettere in senso antiorario con la $A$ presso il vertice in basso a sinistra. Disegno poi la circonferenza inscritta e chiamo $T$ la sua intersezione con $BC$. Essendo $BC=13$, $BT=13-x$. Chiamo quindi $CT=x$. Poi evidenzio i tre raggi della circonferenza che uniscono il centro $O$ rispettivamente con $AC$ e $AB$ in $E$ e $D$. Unendo $B$ con $O$ e allo stesso modo $C$, posso confermare che (ricordando la proprietà per la quale il centro della circonferenza inscritta è anche l'intersezione delle bisettrici e utilizzando i criteri di congruenza dei triangoli) $BD=BT=13-x$ e che $CE=CT=x$. Chiamo infine i segmenti rimanenti $AE$ e $AD$ $y$, essendo congruenti per la stessa ragione.
Sostituisco infine le espressioni dei segmenti trovate in quella data dal problema operando quando necessario, in particolare si ha $AB-AC=7 -> 13-x+y-x-y=7 -> x=3 --> BT=13-3=10$

[giammaria2]

Bravo!