Cesenatico 2009

[Doubleduck1]

Sekante ormai pensa solo alla sua futura reggia ed è talmente preso dall’idea di risparmiare denaro, che ha iniziato a fare i compiti degli altri allievi in cambio di soldi. Il maestro Isoshilo l’ha scoperto e per metterlo in riga si è presentato sotto mentite spoglie offrendogli un lauto compenso per trovare tutte le terne di numeri interi positivi che soddisfano
[tex]a [tex]a < 4c[/tex]
[tex]bc^3 ≤ ac^3 +b[/tex]
[tex]a,b, c ≤ 2007[/tex].
Sekante si sta spremendo le meningi e Isoshilo non pensa che ce la possa fare, ma anche se ci riuscisse, lo schernirà senza pagarlo! Quante sono le soluzioni che dovrebbe trovare Sekante?

[veciorik]

6016=3*2007-6+1

[Doubleduck1]

Scusa, puoi spiegarmi il passaggio?

[veciorik]

Siano v1: $a < b$ ; v2: $a < 4c$ ; v3: $b c^3 ≤ a c^3 + b$ ; v4: $a , b , c ≤ 2007$ .

$c=1$ dà 6015 soluzioni:

v2: $a < 4c = 4$ dà tre valori di $a=1,2,3$ [/list:u:1zhct6mr]

v1 e v4: $a < b ≤ 2007$ danno $(2007-1)+(2007-2)+(2007-3)=6015$ soluzioni[/list:u:1zhct6mr]

v3 non esclude alcuna delle precedenti soluzioni[/list:u:1zhct6mr]

$c=2$ dà 1 soluzione:

v2: $a < 4c = 8$[/list:u:1zhct6mr]

v1 e v3: $7a < 7b ≤ 8a$ che, sottraendo $7a$ da tutto e posto $d=b-a$, diventa[/list:u:1zhct6mr]

$0 < 7d ≤ a < 8$ da cui si ricava $d=1 , a=7 , b=8$[/list:u:1zhct6mr]

$c>2$ non dà ulteriori soluzioni:

v3: $b ≤ (ac^3)/(c^3-1)$ ossia $(b - a) ≤ a/(c^3-1)$ [/list:u:1zhct6mr]

v2: $a/(c^3-1) < (4c)/(c^3-1)$ che per $c>2$ vale sempre $(4c)/(c^3-1) < 1$ [/list:u:1zhct6mr]

v2 e v3 quindi danno: $b - a < 1$ incompatibile con v1: $b > a$[/list:u:1zhct6mr]