Cercare un punto su cerchio

[Sk_Anonymous]

il problema lasciato aperto alla fine dell'articolo:
http://web.unife.it/progetti/fardiconto ... /index.htm

l'avevo risolto (tanto) tempo fa. L'ho ripescato perché mi sembra proprio un bel problema.

Riformulato

Dato un generico triangolo ABC, determinare sulla circonferenza circoscritta un punto P tale che PA+PB=PC.

PS
Del problema ho trovato una soluzione elementare (con riga e' compasso cioe').

[kobeilprofeta]

Ma basta dimostrare che esiste?

[Sk_Anonymous]

"kobeilprofeta":Ma basta dimostrare che esiste?

beh il problema riformulato richiede la costruzione esplicita del(l'eventuale) punto.



Sarebbe interessante, peraltro, anche una prova non costruttiva dell'esistenza del punto.

[kobeilprofeta]

Scusa la domanda stupida:
PC deve essere PA+PB come lunghezza o anche some somma vettoriale?

[Sk_Anonymous]

"kobeilprofeta":
PC deve essere PA+PB come lunghezza o anche some somma vettoriale?

nel messaggio originario si parlava di figure geometriche in senso classico, quindi niente vettori.
Comunque sia, io l''ho interpretato (e risolto) pensando alle lunghezze dei segmenti e non anche alla direzione.

PS
Quello vettoriale potrebbe essere un diverso problema, ma non ci ho proprio riflettuto.

[Sk_Anonymous]

"sprmnt21":il problema lasciato aperto alla fine dell'articolo:
http://web.unife.it/progetti/fardiconto ... /index.htm

Fornisco una sintetica dimostrazione differente da quelle riportate nell'articolo limitandomi alla prima parte (per adesso).

Sia ABC equilatero, allora per un generico punto P sul circoncerchio la somma delle distanze di P da due vertici è uguale alla distanza dal terzo.

Dal teorema di Tolomeo (dio lo benedica) per i quadrilateri inscritti in un cerchio, si ha che:

supponendo $P in$ $\hat{BC}$ che non contiene $A$, $PA \cdot BC= PB\cdot AC+PC \cdot AB$

Da cui, essendo $ABC$ equilatero:

$PA=PB+PC$

La soluzione della parte inversa acui ho pensato ha la stessa struttura di quella del problema lasciato aperto, perciò rimando per ora, in attesa di altri interventi.