Calcolo mentale: Potenze grandi, $19^10$
Buongiorno,
Questo è il mio primo messaggio.
Sono un appassionato di calcolo mentale e, non sapendo a chi e dove chiedere, mi piacerebbe porvi dei quesiti al riguardo.
Allora, il mio quesito è calcolare $19^10$
So che è possibile ottenerlo tramite la conoscenza dei logaritmi dei primi 25 numeri primi, cioè quelli inferiori a 100.
Per calcolare i logaritmi uso questo metodo: https://worldmentalcalculation.com/how- ... ogarithms/
Ok, 19 è un numero primo, e il suo logaritmo è 1,27875
(log19¹⁰) = 10 × log(19) = 10 × 1,27875 = 12,7875
Fino qui spero non vi siano problemi.
Dunque, $19^10$ = $10^12,7875$, è la stessa uguaglianza.
Possiamo simplificarlo come: $19^10$ = $10^12$ × $10^0,7875$
Adesso, tramite il metodo degli antilogaritmi, bisogna trovare il valore di $10^0,7875$.
Per calcolare gli antilogaritmi uso questo metodo: https://worldmentalcalculation.com/how- ... ogarithms/
Allora, fra tutti i logaritmi dei numeri primi, qual è il più vicino alla mantissa 7875?
Chiaramente è il logaritmo di 61, visto che il logaritmo di questi è 1,78533; 78533 è molto vicino a 7875.
Si sottraggono le mantisse 0,7875 - 0,7853 = 0,0022
Così, $10^0,7875$ = 61 × $10^0,0022$
Chi ha letto la web che ho postato sugli antilogaritmi avrà capito che vi sia un margine di errore e che, per ogni 1% di questi margini di errori, c'è un corrispondente 0,00432% del logaritmo, per cui si divide $0,0022-:0,00432$, il che ci dà 0,509
Abbiamo dunque $10^0,7875$ è 61 + 0,509% (il quale è 0,00509).
61 × 0,00509 = 0,31049
Ne segue che 61 + 0,31049 = 61,31049
Finalmente 61,31049 × $10^12$ = 61.310.490.000.000 secondo una web che permette di effettuare dei calcoli molto grandi.
Una calcolatrice, invece, mi dà come risultato 6,131.066.257.801
Bene, ringrazio chi ha potuto leggere fino qui. La mia domanda è dunque: Come mai la calcolatrice mi dà un risultato di 6,131.0 (il quale nella grandezza è giusto, visto che l'algoritmo per il calcolo degli antilogaritmi e dei logaritmi presentati prima danno una correttezza di 5 digiti) e la calcolatrice del computer mi dà 61,310?
Dov'è l'errore?
PS: Spero che il mio quesito non infringa il regolamento!
Questo è il mio primo messaggio.
Sono un appassionato di calcolo mentale e, non sapendo a chi e dove chiedere, mi piacerebbe porvi dei quesiti al riguardo.
Allora, il mio quesito è calcolare $19^10$
So che è possibile ottenerlo tramite la conoscenza dei logaritmi dei primi 25 numeri primi, cioè quelli inferiori a 100.
Per calcolare i logaritmi uso questo metodo: https://worldmentalcalculation.com/how- ... ogarithms/
Ok, 19 è un numero primo, e il suo logaritmo è 1,27875
(log19¹⁰) = 10 × log(19) = 10 × 1,27875 = 12,7875
Fino qui spero non vi siano problemi.
Dunque, $19^10$ = $10^12,7875$, è la stessa uguaglianza.
Possiamo simplificarlo come: $19^10$ = $10^12$ × $10^0,7875$
Adesso, tramite il metodo degli antilogaritmi, bisogna trovare il valore di $10^0,7875$.
Per calcolare gli antilogaritmi uso questo metodo: https://worldmentalcalculation.com/how- ... ogarithms/
Allora, fra tutti i logaritmi dei numeri primi, qual è il più vicino alla mantissa 7875?
Chiaramente è il logaritmo di 61, visto che il logaritmo di questi è 1,78533; 78533 è molto vicino a 7875.
Si sottraggono le mantisse 0,7875 - 0,7853 = 0,0022
Così, $10^0,7875$ = 61 × $10^0,0022$
Chi ha letto la web che ho postato sugli antilogaritmi avrà capito che vi sia un margine di errore e che, per ogni 1% di questi margini di errori, c'è un corrispondente 0,00432% del logaritmo, per cui si divide $0,0022-:0,00432$, il che ci dà 0,509
Abbiamo dunque $10^0,7875$ è 61 + 0,509% (il quale è 0,00509).
61 × 0,00509 = 0,31049
Ne segue che 61 + 0,31049 = 61,31049
Finalmente 61,31049 × $10^12$ = 61.310.490.000.000 secondo una web che permette di effettuare dei calcoli molto grandi.
Una calcolatrice, invece, mi dà come risultato 6,131.066.257.801
Bene, ringrazio chi ha potuto leggere fino qui. La mia domanda è dunque: Come mai la calcolatrice mi dà un risultato di 6,131.0 (il quale nella grandezza è giusto, visto che l'algoritmo per il calcolo degli antilogaritmi e dei logaritmi presentati prima danno una correttezza di 5 digiti) e la calcolatrice del computer mi dà 61,310?
Dov'è l'errore?
PS: Spero che il mio quesito non infringa il regolamento!
Risposte
Rispondo solo alla tua ultima domanda; ho dato solo un'occhiata al metodo, che mi sembra scomodo e mi suscita delle perplessità.
In presenza di numeri con valore assoluto molto grande o molto piccolo, calcolatrici e computer usano la notazione esponenziale: spostano cioè la virgola fino a lasciare prima della virgola una sola cifra diversa da zero ed a destra del numero così ottenuto ne scrivono un altro (talvolta preceduto dalla lettera E) che dice di quanto è stato lo spostamento. Nel leggere il risultato, lo spazio fra i due numeri (o la E) va interpretato come "per 10 elevato alla". Dici che la calcolatrice ti dà come risultato 6,131 (trascuro le altre cifre) ma probabilmente c'è poi un 12, un po' in disparte: significa che il risutato è $6,131*10^12$. Mi stupisce un po' il 61,31 del computer, ma probabimente è seguito da un E11, ad indicare $61,31*10^11$: è la stessa cosa.
In presenza di numeri con valore assoluto molto grande o molto piccolo, calcolatrici e computer usano la notazione esponenziale: spostano cioè la virgola fino a lasciare prima della virgola una sola cifra diversa da zero ed a destra del numero così ottenuto ne scrivono un altro (talvolta preceduto dalla lettera E) che dice di quanto è stato lo spostamento. Nel leggere il risultato, lo spazio fra i due numeri (o la E) va interpretato come "per 10 elevato alla". Dici che la calcolatrice ti dà come risultato 6,131 (trascuro le altre cifre) ma probabilmente c'è poi un 12, un po' in disparte: significa che il risutato è $6,131*10^12$. Mi stupisce un po' il 61,31 del computer, ma probabimente è seguito da un E11, ad indicare $61,31*10^11$: è la stessa cosa.
Grazie per la risposta;
Ho capito dov'è l'errore, sono io che mi sono sbagliato!
La calcolatrice, infatti, mi dà 6,131049$xx$$10^13$, dunque la risposta a 5 digiti corretti che si ottiene con il metodo del calcolo dei logaritmi e degli antilogaritmi è giusta.
Un casino a volte il calcolo a mente!
Ho capito dov'è l'errore, sono io che mi sono sbagliato!
La calcolatrice, infatti, mi dà 6,131049$xx$$10^13$, dunque la risposta a 5 digiti corretti che si ottiene con il metodo del calcolo dei logaritmi e degli antilogaritmi è giusta.
Un casino a volte il calcolo a mente!
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