Calcolo di una frazione

[Vincent46]

Calcolare (senza calcolatrice) il valore della seguente frazione (la risposta dev'essere un numero naturale):

$\frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)} $


[ot]Fonte: AIME 1987[/ot]

[j18eos]

Inizio a notare che \(\displaystyle324=2^2\cdot3^4\); utilizzando un esercizio che diedi a lezione, ovvero che \(\displaystyle(a^2+2b^2-2ab)\cdot(a^2+2b^2+2ab)=a^4+2^2b^4\), si possono ulteriormente scomporre quei fattori, dato che possono essere astrattizzati in questa forma qui.

Inoltre, essendo il termine \(\displaystyle a\) un numero del tipo \(\displaystyle4+6k=2(2+3k)\) con \(\displaystyle k\in\{0,\dots,9\}\), si può semplificare ogni singolo fattore per \(\displaystyle 2\).

Essendo ridotte le parentesi dell'intera fazione a somme e prodotti di quadrati: io svolgerei i calcoli e semplificherei ottenendo il risultato.

Può andare il ragionamento?

[axpgn]

Partendo dall'idea di j18eos (thanks ) e sviluppandola otteniamo ...

$a^4+4b^4=a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2=$

$a^4+4b^4=[(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)]=[((a+b)^2+b^2)((a-b)^2+b^2)]$

Applicando questa scomposizione ai vari fattori otteniamo, per esempio:

$10^4+4*3^4=[((10+3)^2+9)((10-3)^2+9)]=(13^2+9)(7^2+9)$

Sviluppando tutti i fattori e semplificando rimane $(61^2+9)/(1^2+9)=3730/10=373$

Cordialmente, Alex

[Vincent46]

Bravissimi

L'identità in questione si chiama "Identità di Sophie Germain": https://it.m.wikipedia.org/wiki/Identit ... ie_Germain

[j18eos]

Ho appreso nuove nozioni anche oggi. (:

[gugo82]

"j18eos":\( \displaystyle(a^2+2b^2-2ab)\cdot(a^2+2b^2+2ab)=a^4+2^2b^4 \)

Quanto è bella l’identità di Sophie Germain!


P.S.: “astrattizzare”?