Calcolo delle variazioni su un cubo, ma...

[j18eos]

...senza calcoli!

Vincolo: non c'è bisogno di svolgere alcun calcolo!

Problema: considerato un cubo di lato \(\displaystyle l>0\): determinare il percorso di minima distanza (sul cubo) tra:
[list=a]
[*:e6r77tu9]due vertici simmetrici, rispetto al centro del cubo;[/*:m:e6r77tu9]
[*:e6r77tu9]due punti simmetrici, rispetto al centro del cubo.[/*:m:e6r77tu9][/list:o:e6r77tu9]

Resto a disposizione di eventuali chiarimenti.

[axpgn]

Salvo errori, a me quel percorso viene più corto però sempre maggiore di $sqrt(130)$ ...

$(9+1/2)^2+(7-1/3)^2=131,1bar5$

[orsoulx]

@veciorick,
Buono. Batti il record di Alex e lui, per ripicca, riduce il tuo risultato, che è comunque ancora superabile.

Partendo da $ A=(0,1/3,2) $, via soffitto e parete grande più lontana da $ A $, si arriva a $ (7,14/3,2) $, con un percorso che è lungo $ \sqrt((28/3)^2+(20/3)^2)= \sqrt(131.(5)) $

Ciao
B.

[orsoulx]

@Alex
devi prestare più attenzione: la tua espressione contiene più del 20% di numeri errati per distrazione.
Ciao
B.

[axpgn]

"orsoulx":... Batti il record di Alex e lui, per ripicca, riduce il tuo risultato, ...

Cattivo ... ...

"orsoulx":... contiene più del 20% di numeri errati per distrazione. ...

Così va meglio ?

$ (9+1/3)^2+(7-1/3)^2=131,bar5 $

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex
così mi piace! Vedi che quando ti impegni riesci a scrivere delle belle espressioni.
Ciao
B.

[veciorik]

Non mi avete convinto.
Resto fermo sul mio calcolo:

il trattino da 1/3 va aggiunto, 2 volte, al lato da 7 mentre il tratto da 2 va aggiunto, 2 volte, al lato da 5:
i due tratti sono perpendicolari tra loro, non potete sommarli entrambi allo stesso cateto.

Proverò a fare un disegno per dimostrarlo.
Credo anche che sia il massimo assoluto, ma non ho ancora una dimostrazione.

PS: ho capito solo adesso. Avete ragione. Scusate.

[Erasmus_First]

"veciorik":

Antipodi sulle facce più piccole (4x5) distanti 2 dal lato "5" e 1/3 dal lato "4".

I quadrati delle due distanze, nei 2 percorsi, sono uguali e valgono \(139.\bar{7}\) :

\[d^2 \ = \ (7\ +\ 4)^2 \ + \ (5\ -\ 2/3)^2 \ = \ (5\ +\ 4)^2 \ + \ (7\ +\ 2/3)^2\]
...

Ma ... che cavolo state facendo? Cosa state cercando?  
Non vi capisco!
––––––––––––––
Taglio in due parti uguali il parallelepipedo-stanza con un piano verticale distante 2,5 da ciascuna delle due pareti lunghe 7. La sezione è un rettangolo 4 x 7 (uguale a ciascuna delle due pareti lunghe 7. Considero un punto P qualsiasi del perimetro di questa sezione. Un a formica che parte da P e percorre mezzo perimetro (cioè 7 + 4 = 11) arriva in Q distante 11 da P.
I due punti detti da orsoulx nel suo primo intervento sono una particolare coppia del tipo [P, Q] appena descritto, quindi distano 11.

Con lo stesso modo di ragionare, tagliando la stanza con un piano verticale per il centro e perpendicolare alle pareti lunghe 7, ottengo una sezione rettangolare uguale alla parete meno lunga (quella 5 x 4); e sul perimetro di questp rettangolo due punti distanti uno dall'altro mezzo perimetro costituiscono una coppia di punti "antipodali" a distanza minima assoluta (che è 4 + 5 = 9).

La massima delle distanze tra due punti "antipodali" è quella tra due vertici opposti.
Ci sono infiniti piani per una coppia di vertici opposti: tutti quelli del fascio di piani che hanno in comune una diagonale del parallelepipedo.
Per la ricerca dela distanza (ossia del percotrso a lunghezza minima da un vertice a quello opposto restando sulla superficie del parallelepipedo) ragiono come segue.
Ma prima dico il risultato ... sotto "spoiler".

Supponiamo che le pareti lunghe 5 m abbiano la direzione Sud-Nord (e quelle lunghe 7 m la direzione Est-Ovest.
E immaginiamo una formica nel vertice Sud-Est del pavimento che vuole andare al vertice opposto Nord-Ovest del soffitto sul percorso di lunghezza minima la formica sale fino al soffitto alto 4 m andando di sbiego sulla parete lunga 7 m spostandosi di 3 m e 1/9 di m in direzione Ovest per poi attraversare il soffitto (largo 5 m) di sbiego avanzando di 5 m verso Nord e di 3 m e 8/9 di m verso Ovest.
In tutto percorrerà $sqrt130$ m 4≈11,04$ m di cui
$sqrt(4^2+ (28/9)^2)$ m $= sqrt2080/9$ m $= 5,067$ m
sulla parete e
$sqrt(5^2 + (35/9)^2)$ m $= sqrt3250/9$ m $≈6,333$ m
sul soffitto

Giro il piano secante attorno ad una diagonale del parallelepipedo-stanza. La sezione con un tale piano è in generale un parallelogramma e il percorso da un vertice al vertice opposto è a somma di due lati consecutivi. In particolare posso tagliare il parallelepipedo in due prismi triangolari uguali con un piano che passi per due spigoli opposti (e allora la sezione è rettangolare e di tre tipi, cioè con due lati opposti costituiti da due spigoli opposti e gli altri due costituiti da diagonali delle due facce perpendicolari a quei due spigoli).
Ma ... consideriamo un parallelepipedo soliido (pieno!) simile alla stanza e immaginiamo di tirare un elastico ... lubrificato tra due vertici opposti. I percorsi di lunghezza minima (relativa) sono quei tresui qual l'elestico è in posizione stabile perché teso di meno che nelle posizioni diverse. Insomma: girando il piano secantew attorno ad una diagonale viene individuato il poercorso ad ogni angolo e ci sono tre massimi relativi quando òla sezione passa per due spigoli opposti e tre minimi relativi alternati con quei massimi nei quali il mezzo perimetro della sezione è fatto da un lato che daglia di sbiego una faccia e da un secondo lato (consecutivo) che taglia di sbiego la faccia contigua.

Possiamo allora pensare di "svolgere" in un piano due facce contigue del parallelepipedo ottenendo un rettangolo con un lato uguale ad uno spigolo e l'altro uguale alla somma degli altri due.

Il tre percorsi di lunghezza minima (relativa) diventano allora le diagonali dei rispettivi rettangoli [con un lato lungo come uno spigolo e l'altro come la somma degli altri due].
Se $a$, $b$ e $c$ sono le lunghezze ddi tre spigoli con un estremo comune, le lunghezze dei tre percorsi (a lunghezza minima realativa) sono
$sqrt(a^2 + (b + c)^2) = sqrt(a^2 + b^2 + c^2 + 2bc$;
$sqrt(b^2 + (c + a)^2) = sqrt(a^2 + b^2 + c^2 + 2ca$;
$sqrt(c^2 + (a + b)^2) = sqrt(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab$.

Il percorso di lunghezza minima assoluta è quello lungo come la diagonale del rettangolo più "tozzo", quello che ha un lato lungo quanto lo spigolo di lunghezza maggiore.
Nel nostro caso la distanza minima assoluta tra due vertici opposti è
$sqrtì(7^2 + (4+5)^2) = sqrt(49+81) = sqrt(130) ≈ 11,40$.
Supponiamo che le pareti lunghe 5 metri abbiano direzuìone Sud-Nord (e quelle lunghe 7 metri la direzione Est-Ovest.
E immaginiamo una formica nel vertice Sud-Est del pavimento.
Questa andrà al vertice opposto (Nord-Ovest del soffitto) salendo fino al soffitto di 4 in verticale e di 28/9 in direzione Ovest per poi attraversare il soffitto di sbiego avanzando di 5 verso Nord e di 35/9 verso Ovest
_________

[orsoulx]

Calmati Erasmus!
Questa volta non risponderò alle tue domande: se ho capito bene, sono retoriche ancorché forse un po' eccessive nel linguaggio.
Questo problema ha per me un fascino particolare, perché il ragazzino sveglio di scuola media ed il luminare della matematica hanno, quasi, la medesima possibilità di risolverlo. Inoltre è molto facile verificare le affermazioni ed accorgersi se sono esatte od errate.
Ho sbagliato, a suo tempo nell'affrontarlo, ha sbagliato Alex e pure Veciorik. Non c'è nulla di male in questo, dai propri errori si può imparare molto, a patto di non incaponirsi per non ammetterli.
Quando ho detto ad Alex che $ \sqrt {130} $ non era la massima distanza possibile mi ha creduto, bontà sua, sulla parola; adesso Veciorik ha trovato una coppia di punti che distano di più.
Visto che hai deciso di utilizzare coordinate diverse da quelle che avevo proposto, ti metto in spoiler quelle nel tuo sistema di riferimento

$ P=(1/3,0,2); Q=(14/3,7,2) $

invece di sprecare tempo nel dimostrare che la distanza di due vertici opposti è $ \sqrt {130} $, cosa ormai ben nota a tutti, mostra che i punti di Veciorik sono più vicini ed allora sì che potrai dire: state sbagliando.
Ciao
B.

[veciorik]

Eureka! distanza \( \ = \ \sqrt{133.439...}\)

Antipodi sulle pareti piccole, distanti 2 da soffitto e pavimento e \(\ \delta \ = \ 4 \ (\sqrt{10}-3)\) dalle pareti grandi.
Ovvero con coordinate cartesiane \( \ ( \ 0 \ ,\ \delta \ , \ 2 \ )\) e \( \ ( \ 7 \ ,\ 5-\delta \ , \ 2 \ )\).

I quadrati delle due "distanze geodetiche" sono uguali nei 2 percorsi e valgono :

\[d^2 \ = \ (7\ +\ 4)^2 \ + \ (5\ -\ 2\delta)^2 \ = \ (5\ +\ 4 +\ \delta)^2 \ + \ (7\ -\ \delta)^2 \ = \ 133.439...\]
?

[Erasmus_First]

@ orsoulx

"orsoulx":Calmati Erasmus!
Questa volta non risponderò alle tue domande: se ho capito bene, sono retoriche ancorché forse un po' eccessive nel linguaggio.

[ot] Oh bella!
Sono calmissimo. Non posso calmarmi di più di così.
Se hai capito cosa? Le domande NON sono retoriche (e nemmeno quest'ultima)!
In quelle poche mie parole non c'è niente da capire se non quello che dicono letteralmente!
[L'unica figura retorica sta nella parola "cavolo" che sostituisce la parola "cosa" per aggiungere stupore (mio) alla mia incomprensione].
Ti rimetto pari-pari la parte cui ti riferisci, sperando in cuor mio che tu, in cuor tuo, cambi parere (riconsiderandola).

"Erasmus_First":[quote="veciorik"]Antipodi sulle facce più piccole (4x5) distanti 2 dal lato "5" e 1/3 dal lato "4".

I quadrati delle due distanze, nei 2 percorsi, sono uguali e valgono \(139.\bar{7}\) :

\[d^2 \ = \ (7\ +\ 4)^2 \ + \ (5\ -\ 2/3)^2 \ = \ (5\ +\ 4)^2 \ + \ (7\ +\ 2/3)^2\]
...

Ma ... che cavolo state facendo? Cosa state cercando?  
Non vi capisco!
––––––––––––––[/quote]
Devo interrompere. Purtroppo ho priorità impellenti.
Ciao ciao[/ot]

[orsoulx]

"veciorik":Eureka! distanza ...

Eh, sì! Ma sei riuscito a mandarmi in tilt. Procedimento condiviso e risultato diverso (leggermente più piccolo di quello che avevo). In prima battuta ho pensato che vi fossero due massimi relativi tanto vicini; cosa che avrebbe minato la mia convinzione che quello fosse il massimo assoluto. Poi ho fatto i conti: c'è un errore di calcolo nella soluzione della tua equazione, che comunque non toglie nulla all'esattezza del metodo. Complimenti.
Ciao
B.

[orsoulx]

Erasmus:First
Non so se la mia pazienza abbia un massimo, son però certo che sia superiormente limitata.
Un fine tuttologo quale sei non può sfoggiare le sue conoscenze in greco, latino, storia e filosofia (quelle matematiche sono ovviamente scontate), discettare di etimi e significati, scrivere aforismo in blu con la 'o' finale in grassetto, usare continuamente "circonferenza del cerchio", fino a proporre l'ormai anacronistico "circonferenza circolare"... per poi travestirsi da innocente educanda, del tutto ignara che il cavolo, oltre ad essere naturale ricetto per i neonati, funga da eufemismo, non già per cosa, ma per altro termine, ancor meno garbato, che inizia con la medesima sillaba.
Ed allora, spero per l'ultima volta, rispondo in blocco alle tante domande inevase.
Stan (o forse stavano) risolvendo il medesimo quesito che affrontavi tu: individuare la coppia di punti, sulle pareti della stanza, aventi massima 'distanza' reciproca.
Ciao
B.

[veciorik]

Rifatti i calcoli trovo distanza \( \ = \ \sqrt{133.838} \ = \ 11.569\).

Antipodi \( \ P=( \ 0 \ ,\ \delta \ , \ 2 \ )\) e \( \ Q=( \ 7 \ ,\ 5-\delta \ , \ 2 \ )\).
\(\ (PQ_1)^2 \ = \ (2 \ +\ 7\ +\ 2 \ )^2 \ + \ (5\ -\ 2\delta)^2 \ = \ 146 - 20\delta + 4\delta^2\)
\(\ (PQ_2)^2 \ = \ (2 \ +\ 7\ +\ \delta)^2 \ + \ (7\ -\ \delta)^2 \ = \ 130 + 4\delta + 2\delta^2\)
Uguagliando trovo \( \ \delta \ =\ 6-2\sqrt{7} \ = \ 0.708... \ \) e distanza \( \ = \ \sqrt{133.838} \).

NB: $Q_1$ e $Q_2$ sono le due immagini dello stesso punto $Q$ seguendo i due percorsi alternativi.

[asvg]width=467;height=300;xmin = -4; xmax = 12; ymin = 0; ymax = 9;axes(1,1,"labels",1,1,"grid");
var P=[-2,0.708];var Q2=[7.708,7];var Q1=[9,4.292];
var A=[0,0];var B=[7,0];var C=[7,5];var D=[0,5];var E=[0,-4];var F=[7,-4];var G=[11,0];var H=[11,5];var I=[7,9];var L=[-4,0];var Y=[12,5];var Z=[12,9];
strokewidth=1;
stroke="blue";rect(C,Z);
strokewidth=2;
stroke="blue";rect(B,H);rect(D,I);rect(L,D);
stroke="black";rect(A,C);
strokewidth=3;
stroke="red";dot(P);dot(Q1);line(P,Q1);text(P,"P",aboveleft);text(Q1,"Q1",belowright);
dot(Q2);line(P,Q2);text(Q2,"Q2",right);
strokewidth=1;arc(Q1,Q2,11.569);
stroke="blue";arc(H,I,4);arc(G,Z,9);arc(B,Y,5);[/asvg]

[orsoulx]

Ciao
B.

[Erasmus_First]

@ orsoulx[ot]Sono convinto di non meritare queste tue "filippiche" in cui stai facendo pubblica e palese detrazione di me. Riconfermo la totale sincerità e trasparenza di quanto ho scritto (e scrivo). Non reputo questa la sede per risponderti come il cuore mi detta.[/ot]