Calcolo delle variazioni su un cubo, ma...

[j18eos]

...senza calcoli!

Vincolo: non c'è bisogno di svolgere alcun calcolo!

Problema: considerato un cubo di lato \(\displaystyle l>0\): determinare il percorso di minima distanza (sul cubo) tra:
[list=a]
[*:e6r77tu9]due vertici simmetrici, rispetto al centro del cubo;[/*:m:e6r77tu9]
[*:e6r77tu9]due punti simmetrici, rispetto al centro del cubo.[/*:m:e6r77tu9][/list:o:e6r77tu9]

Resto a disposizione di eventuali chiarimenti.

[Rigel1]

Non basta "aprire il cubo" e metterlo su un piano? Le distanze dovrebbero variare fra \(2l\) (centri di due facce opposte) e \(l\sqrt{5}\) (due vertici opposti).

[Erasmus_First]

Vedo adesso il quiz; e che Rigel ha già risposto.

@ Rigel
Perché il punto di domanda?
Ah ... ma la tua è una domada retorica!
«Nonne sufficit ...?»

Io avrei risposto così: Il percorso a lunghezza minima è una "geodetica"; e su una superficie convessa basta immaginare di tendere un elastico tra i due punti!
[Nell'attraversare un eventuale spoigolo occore che l'inclinazione su di esso del tratto [rettilineo] su una faccia sia la stessa nell'altra faccia (che ha quello spigolo come lato in comune con la faccia precedente)]

Due vertici smmetrici rispetto al centro sono estremi di una diagonale, distano $sqrt3·l$ nello spazio e $sqrt5·l$ sulla superficie del cubo.
[Ma ci sono arrivato facendo il calcolo $2sqrt(l^2 + (l/2)^2)$, cioè violando le regole. ]

________

[j18eos]

@Erasmus_First È la mia stessa soluzione, tra l'altro anch'io ho fatto un gioco di parole: niente calcolo ovvero niente calculus

L'esercizio l'ho preso da un prova I.N.D.A.M. del 2004 (se non sbaglio l'anno)...

[orsoulx]

Bel problema dall'apparenza abbastanza amichevole, in fin dei conti basta conoscere il teorema di Pitagora, ma pronto ad incattivirsi non appena si modifichino le condizioni.
Italo Ghersi [in "Matematica dilettevole e curiosa", Hoepli 1913] ne propone una variante: il cubo è sostituito da una stanza a forma di parallelepipedo rettangolo, con il pavimento di 5 x 7 metri e pareti alte 4 metri; i due punti da congiungere, senza abbandonare il guscio della stanza, si trovano in posizione antipodale, sulle pareti più piccole, appartengono alla linea verticale di mezzeria e distano mezzo metro, rispettivamente, dal pavimento e dal soffitto. Riporta anche la soluzione, che risulta esatta, ma ottenuta attraverso un procedimento non privo di errori sostanziali.
Notevolmente più complicato è cercare la posizione dei due punti che rendono massima la 'distanza' dei medesimi, dove per distanza si intende il percorso più breve che li unisce.
Ciao
B.

[axpgn]

Provo a rispondere al tuo rilancio, cercando di trovare la "distanza massima" ...

Dopo aver "sviluppato" il parallelepipedo in un paio di modi, il massimo che ho trovato è questo, come da figura ...



$AB=26.363$

$A(11;0)$

$B(-13;10.9091)$

[orsoulx]

@Alex:
Diamo per scontato che io sia diabolicamente criptico, però ho scritto

"orsoulx":...dove per distanza si intende il percorso più breve che li unisce.

ed il percorso più breve che unisce quei due punti a me risulta lungo appena 4.14609 m
Ciao
B.

[axpgn]

"orsoulx":Diamo per scontato che io sia diabolicamente criptico, ...

Eh, sì, lo sei ...
OK, allora intendevi qualcosa di diverso ... in pratica due punti agli antipodi ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Mah, ripensandoci ... se quella che ho trovato è la maggior distanza possibile (considerando i diversi sviluppi possibili della stanza), allora i due punti dovrebbero trovarsi su quella retta ad una distanza pari alla metà ... forse ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"axpgn":Mah, ripensandoci ... se quella che ho trovato è la maggior distanza possibile (considerando i diversi sviluppi possibili della stanza), allora i due punti dovrebbero trovarsi su quella retta ad una distanza pari alla metà ... forse ..

Credo di no.
Per mettere tutto (quasi) in chiaro.
Conosco la distanza, che ritengo la massima possibile (ho la certezza che quello è un massimo relativo), di due punti, che non ho trovato io e neppure il Ghersi.
L'unico prerequisito indispensabile è la conoscenza del teorema di Pitagora. La simulazione fisica, per determinare la distanza di due punti è ben descritta da

"Erasmus_First":Il percorso a lunghezza minima è una "geodetica"; e su una superficie convessa basta immaginare di tendere un elastico tra i due punti!

.
Se qualcuno volesse partecipare e fosse frenato dalla necessità di produrre disegni o lunghe spiegazioni possiamo concordare delle coordinate cartesiane: i vertici del parallelepipedo sono (in metri) (0,0,0); (7,0,0); (7,5,0); (0,5,0); (0,0,4); (7,0,4); (7,5,4); (0,5,4). Basta allora indicare le coordinate dei due punti cercati.
Ciao
B.

[axpgn]

Se ho capito bene tu conosci la distanza che deve esserci tra i due punti quindi hai già risolto una parte del quesito, giusto?

[orsoulx]

@Alex
Il quesito come formulato dal Ghersi (Gardenr ne presenta uno simile, con misure 12x12x30 piedi, attribuendolo a Dudeney, e fornendo la risposta ben motivata) si limita al determinare la distanza fra i due punti assegnati.
La seconda parte, sicuramente più difficile, è stata proposta in un blog di quesiti matematici. Nella discussione ho preso un paio di cantonate, con posizioni che si sono rivelate non di massimo. Un altro partecipante, utilizzando piccoli spostamenti dati in pasto ad un foglio elettronico è giunto ad una soluzione, che abbiamo verificato essere sicuramente un massimo relativo, nel senso che in un intorno di uno dei due punti non ve ne possono essere altri che comportano una distanza maggiore. Conosco, ovviamente, la coppia di punti in questione e la loro distanza. Non ho la dimostrazione che questa sia la massima possibile, ma mi meraviglierei se così non fosse. Per farmi meravigliare basta trovare una coppia di punti che sia più lontana: il calcolo della distanza non è difficile.
Ciao
B.

[axpgn]

È maggiore di $sqrt(130)$ ? Il mio massimo (sforzo) è questo ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Se è $ \sqrt(49+81) $ coincide con la prima, sbagliata, che avevo sparato io: la differenza è piccola, ma si può disporli più lontano.
Ciao
B.

[axpgn]

Sì, salta fuori da tutte le parti ...
Io lo chiamerei "il problema della coperta corta" ... ... se t'allunghi da una parte, ti si accorcia dall'altra ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Che ne pensi di una distanza compresa tra $sqrt(136.4767)$ e $sqrt(136.477)$ e due punti come $(0,0,4)$ e $(7,3.976192,0)$ ? Sempreché sia riuscito a tradurre correttamente in coordinate tridimensionali le misure in piano ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Mi hai fatto meravigliare, ma è durata poco: se le coordinate sono giuste, partendo dal primo punto, percorrendo un tratto di parete lunga e uno di pavimento, la geodetica è lunga poco meno di $ \sqrt(64+49) $.
Metto in spoiler una traccia delle condizioni per avere un massimo relativo, possono anche servire per spostare i punti verso il medesimo.

I percorsi possibili, rettilinei sugli sviluppi della superficie laterale del parallelepipedo, sono tanti.
Se i punti sono antipodali condizione necessaria e sufficiente per avere un massimo relativo è che almeno quattro di questi (due coppie simmetriche) abbiano la medesima lunghezza, minore di quella dei restanti.
Se i punti non sono antipodali condizione necessaria (per che sia sufficiente servono ipotesi aggiuntive) è che almeno tre percorsi abbiano la medesima lunghezza, minore di quella dei rimanenti.

Ciao
B.

[axpgn]

Pensavo di averle provate tutte le configurazioni ma evidentemente ne mancava una ...
In effetti avevo trovato tre percorsi della medesima lunghezza, minori dei rimanenti ... che avevo trovato ...

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

"orsoulx": [...] il cubo è sostituito da una stanza a forma di parallelepipedo rettangolo, con il pavimento di 5 x 7 metri e pareti alte 4 metri; i due punti da congiungere, senza abbandonare il guscio della stanza, si trovano in posizione antipodale, sulle pareti più piccole, appartengono alla linea verticale di mezzeria e distano mezzo metro, rispettivamente, dal pavimento e dal soffitto. Riporta anche la soluzione [...]

Non sono sicuro di aver capito bene la questione. Di sicuro ho capito che la stanza è un parallelepipedo rettangolo di spigoli 4 x 5 x 7 (non importa in quale unità di misura).

Sia C il centro della stanza, ossia il punto che dista
• 2 dal pavimento e dal soffitto,
• 2,5 da una parete e dalla sua parallela
• 3,5 da una terza parete e dalla sua parallela.
Faccio delle domante e ipotizzo le rispettive risposte. Gradirei conferma o smentita.
a) Prima domanda: per "posizione antipodale" si intende che della coppia di punti tra i quali è richiesta la distanza geodetica uno è il semmetrico dell'altro nella simmetria centrale di centro C?
b) Che significa "appartengono alla linea di mezzeria"? Cos'è questa "linea di mezzeria"?
Intendi forse che stanno entrambi nel piano equidistante dalle due pareti parallele tra loro più prossime?
c) Che vuol dire "riporta anche la soluzione"?
Soluzione di quale problema?
Intendi quello di trovare il percorso a lunghezza minima tra quei due punti restando sulla superficie del parallelepipedo?
-------------------------
Nel quiz originale (di j18eos) c'era un cubo di spigolo l (che non è restrittivo pensare di valore 1) e le domande erano due:
« Determinare il percorso di minima distanza (sul cubo) tra:
• due vertici simmetrici, rispetto al centro del cubo;
• due punti simmetrici, rispetto al centro del cubo. »
Pensiamo di mettere il cubo nell'ottante [d'un sistema cartesiano ortogonale isometrico] con tutte tre le coordinate non negative con un vertice nell'origine e i tre spigoli concorrenti in quel vertice lungo le semirette positive degli assi cartesiani.
Se mettiamo un vertice del cubo di spigolo unitario nell'origine O(0, 0, 0) e due dei tre vertici più vicini a quello in A(1, 0, 0) e B(0, 1, 0), gli altri 5 vertici cascano in
C(0, 0, 1); D(1, 1, 0); E(0, 1, 1); F(1, 0, 1); G(1. 1, 1).
Sia un punto nella posizione $P(x, y, 0)$ con $0 ≤ x ≤ 1$ e $0 ≤ y ≤ 1$.
La posizione simmetrica di $P$ è quella di $Q(1–x, 1-y, 1)$.
La distanza "geodetica" tra P e Q la trovo considerando dove finisce Q se svolgo la superficie del cubo riportando nel quadrante x≥ 0 e y ≥ 0 sia la faccia ortogonale che sta nel piano di equazione x = 1 sia la faccia partallela [che sta nel piano di equazione z = 1]. Risulta allora che Q va a finire nel punto P' del piano di equazione z = 0 con coordinate P'(2 + x, 1 - y, 0) e pertanto la distanza "geodetica" è
$sqrt((2+x - x)^2 + (1.y-y)^2) = sqrt(5–4y + 4y^2)$.
E questa è la risposta alla seconda domanda.
Il minimo si ha per y = 1/2 e vale 2.
Il massimo si ha per y = 0 o per y = 1 e vale $sqrt5$.
Siccome x è arbitrario tra 0 e 1, scegliendo x = 0 e y = 0 si ha che la distanza tra due vertici opposti è $sqrt5$.
E questa è la risposta alla prima domanda.
------------------
Sono quattro i tratti di geodetica che congiungono i due punti. Ma sono ripartibili in due coppie di tratti di uguale lunghezza.
Dando un nome a ciascuno degli 8 vertici e assumendo un opportuno riferimento cartesiano possiamo assegnare ai vertici le coordinate cartesiane ... come segue

     | z
     |            · P(x,y,z)
     |___________ y
      \
        \ x

 A  _____________________ D            A(0,0,4);   D(0,7,4);
   |\                    |\
   |  \                  |  \
   |    \_B______________|___\ C             B(5, 0, 4);  C(5, 7, 4);
 E |_____|_______________| H  |     E(0, 0, 0);   H(0,7,0);    
    \    |               \    |        
     \   |                 \  |
       \ |_F_________________\|  G         F(5,0,0);   G(5,7,0);

possiamo pensare che i punti – che chiamo P e Q – abbiano coordinate:
P(2,5; 0; 0,5); Q(2,5; 7; 3,5).

[Devo interrompere. Riprenderò quando posso! ]
______

[orsoulx]

"Erasmus_First":Faccio delle domante e ipotizzo le rispettive risposte. Gradirei conferma o smentita.

Intendevo esattamente quel che ho scritto e confermo tutto quel che ipotizzi.

"Erasmus_First":Sono quattro i tratti di geodetica che congiungono i due punti. Ma sono ripartibili in due coppie di tratti di uguale lunghezza.

Non concordo, invece, con questa affermazione.
Ciao
B.

[veciorik]

Antipodi sulle facce più piccole (4x5) distanti 2 dal lato "5" e 1/3 dal lato "4".

I quadrati delle due distanze, nei 2 percorsi, sono uguali e valgono \(139.\bar{7}\) :

\[d^2 \ = \ (7\ +\ 4)^2 \ + \ (5\ -\ 2/3)^2 \ = \ (5\ +\ 4)^2 \ + \ (7\ +\ 2/3)^2\]
...