Buchi neri

[axpgn]

Anche la Matematica ha i suoi buchi neri, eccone due esempi ...


[size=150]$15$[/size]

Prendete un qualsiasi numero naturale maggiore di uno e scrivete tutti i suoi divisori, compresi $1$ e il numero stesso.
Poi fate la somma delle cifre di tutti questi divisori.
Iterate finché un numero non si ripeterà continuamente: è il $15$.

Qualcuno ha idea del perché accade?


$\text(FOUR)$

Prendete qualsiasi numero naturale e contate quante sono le lettere che compongono la parola, in inglese, che lo rappresenta.
Anche qui iterate finché un numero non si ripeterà: è $\text(FOUR)$

Per esempio $\text(FIVE)$ è composto da quattro lettere quindi $\text(FOUR)$.
Un altro esempio: $163$ ovvero $\text(ONE HUNDRED SIXTY-THREE)$ (contate pure gli spazi e i trattini) conta $23$ lettere e poi $12 -> 6 -> 3 -> 5$ ed infine $4$.

Chiaramente dipende dalla lingua utilizzata e non so se esiste un numero analogo in Italiano però mi pare che $\text(TRE)$ sia un buon candidato, no?


Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Quella del 15 bella, nessuna idea per ora, ma ti direi che è strettamente decrescente a partire da un certo \(n_0\) in poi e tutti i numeri sotto \(n_0\) vanno a \(15\), ma perché il 15 proprio non so, così come per l'altro direi che è lo stesso principio.

[axpgn]

Beh, per il secondo direi che è "facile" (si fa per dire ), nel senso che una volta che hai testato una certa quantità di numeri base, diciamo venti/trenta forse cento, gli altri sono sicuramente molto più "grandi" rispetto alla lunghezza delle parole.

È vero che il primo potrebbe ridursi sostanzialmente allo stesso meccanismo ma la variabilità dei divisori possibili rende decisamente più problematico provare la cosa

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Beh ti direi che \( \sum_{d \mid n} 9 \log d \leq 9 \log n \tau(n) \) è un buon bound infatti abbiamo che per ogni \( \epsilon >0 \) risulta che esiste una costante \( c(\epsilon) \) tale che
\[ \tau(n) \leq c(\epsilon) n^{\epsilon} \]
e già \( \epsilon = 1/2 \) basta poiché
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{9 c(1/2) \log x}{\sqrt{x} } = 0 \]

[axpgn]

"3m0o":\[ \tau(n) \leq c(\epsilon) n^{\epsilon} \]

Se lo dici tu, mi fido

Rimane però il problema che devi verificare che non ci sia qualche numero, anche uno solo, che non finisca in $15$ e data la grande variabilità dei divisori non mi pare affatto facile riuscire ad escluderli tutti (anche perché saranno pure in numero finito ma non conoscendo neppure il bound deve essere una bella faticata passare dalla congettura alla dimostrazione )

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Beh per \( \epsilon = 1/2 \) abbiamo chiaramente che \(c(1/2) = 2 \) è sufficiente poiché i divisori vanno in coppia siccome uno è più piccolo di \( \sqrt{n} \) l'altro è più grande pertanto si ha che \( \tau(n) \leq 2 \sqrt{n} \) da cui bisogna risolvere
\[ 18 \sqrt{n} \log n \leq n \]
che wolfram alpha mi dice che è vera per \(n \geq e^{W_{-1}(-1/36)} \) dove \( W_k \) è la continuazione analitica della log function (cose complicate), comunque basterebbe controllare che per ogni numero \( n < 40'000 \) va a 15 iterando un po', ora lascio a qualcun altro fare il programmino.

[axpgn]

"3m0o":, ora lascio a qualcun altro fare il programmino.