Blocco di legno

[axpgn]

Un uomo ha un blocco di legno rettangolare di dimensioni $m xx n xx r$ in pollici ($m, n, r$ sono interi).
Egli dipinge l'intera superficie del blocco, taglia l'intero blocco in cubetti da un pollice e nota che esattamente metà dei cubetti è completamente senza vernice.

Provare che il numero di blocchi di legno essenzialmente differenti e aventi questa proprietà, è finito.



Cordialmente, Alex

[Quinzio]

$a,b,c$ sono le dimensioni del blocco interno in cui nessun cubetto e' colorato.
Aggiungiamo un guscio esterno di spessore un cubetto per coprire il blocco interno e non farlo verniciare.
Il doppio del volume del blocco interno deve essere uguale a quello del blocco esterno.
Ovvero:
$2abc = (a+2)(b+2)(c+2)$

che riformuliamo in questo modo
$abc -2(ab+bc+ac)-4(a+b+c)-8=0$

$bc(a-2) -2a(b+c-4)-4(b+c)-8=0$

Si tratta quindi di trovare lo zero per le varie combinazioni di $a,b,c$

Supponiamo senza perdere di generalita' che $a \le b \le c$.

Se $a=2$, e' immediato verificare che il membro a sinistra e' negativo.

Con $a=3$ abbiamo

$bc -10(b+c)-32=0$.

Esiste un $b_0$ t.p.c. con $b \ge b_0$ il membro di sinistra e' sicuramente positivo.

Infatti se $b=c$, possiamo prendere $b_0 = 20$ e si verifica che il membro di sinistra e' positivo.

Se invece $c \ge b$ vediamo cosa succede al membro di sinistra per un incremento di $c$:
$(b(c+1) -10(b+c+1)-32) -( bc -10(b+c)-32) = b - 10$.
Ovvero incrementando $c$ di $1$ la differenza al membro di sinistra e' positiva per $b > 10$.

Quindi per $b_0= 20$ il membro a sinistra e' sicuramente positivo.

Ricapitolando per $a=2$ il membro a sinistra e' negativo, per $a =3 $ il membro a sinistra e' sicuramente positivo, e quindi lo zero deve trovarsi tra questi due valori.

Abbiamo mostrato come sopra a un certo $b_0$ lo zero si trova per $a \in (2,3)$.
Siccome il problema richiede che $a,b,c$ siano interi, ecco che non abbiamo soluzioni per $a$.
L'insieme delle terne $a,b,c$ e' dunque finito.

[axpgn]

Non so se ho capito bene ma vuoi dire che non ci sono soluzioni?
Comunque mi pare che ci sia un errore con $a=3$

Cordialmente, Alex

[mgrau]

Risposta qualitativa: i blocchetti colorati sono la scorza, quelli senza vernice sono la polpa. La dimensione della scorza varia col quadrato delle dimensioni lineari, quella della polpa col cubo. Quindi col crescere delle dimensioni la polpa diventa preponderante. Ci sarebbe da esaminare i casi in cui una o due dimensioni restano limitate mentre una sola cresce, ma lo lasciamo per esercizio al lettore

[axpgn]

La risposta qualitativa era la parte facile
Purtroppo, dato che è un problema da gara, occorre dimostrare che le soluzioni sono o non sono in numero finito

[axpgn]

Hint:

I cubi non verniciati formano un parallelepipedo di dimensioni $(m-2) xx (n-2) xx (r-2)$ ovvero

$mnr=2(m-2)(n-2)(r-2)$ che si può riscrivere come $1/2=(m-2)/m*(n-2)/n*(r-2)/r$

Assumiamo che sia $m<=n<=r$.

Allora $((m-2)/m)^3<=1/2<=(m-2)/m$ da cui $1/2<(m-2)/m<=(1/2)^(1/3)$ che dà $4
Quindi ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Proseguendo ...

... otteniamo le seguenti combinazioni:

$m=5\text( )13<=n<=22$
$m=6\text( ) 9<=n<=14$
$m=7\text( ) 7<=n<=12$
$m=8\text( ) 8<=n<=10$
$m=9\text( ) 9<=n<=10$