Baricentri triangoli ed aree...

[dr00ster]

Non credo che la dimostrazione sia troppo difficile... Forse esiste già in rete da qualche parte, ma prima di scervellarmici su condivido con voi:
dimostrare che dato un triangolo qualsiasi $ABC$ i 3 triangoli ottenuti congiungendo il baricentro con ognuno dei vertici hanno la stessa area

[giulylanza06]

Domanda, penso ingenua, essendo la bisettrice il luogo dei punti equidistanti dalle semirette che formano l'angolo diviso, si creeranno tre triangoli di uguale altezza ma non necessariamente di uguale base, quindi questo vale sse i lati del triangolo sono congruenti, essendolo le altezze, fra l'altro raggi della circonferenza inscritta, quindi perpendicolari al lato, tangente, e congruenti. Mi sbaglio?

[dr00ster]

Giustamente, l'incentro divide il triangolo in tre triangoli di uguale area solamente se i lati sono congruenti...
...ma mi riferivo all'intersezione delle mediane, non all'intersezione delle bisettrici!!

[adaBTTLS1]

se consideri una mediana, questa divide il triangolo in due equivalenti, perché hanno basi congruenti e stessa altezza.
se consideri uno dei due triangoli appena detti, e unisci il vertice con il baricentro del triangolo di partenza, questo segmento (che è 2/3 di un'altra mediana) divide il triangolo in due parti di cui una ha area doppia rispetto all'altra ...
quella che ha area doppia è un terzo del triangolo di partenza, l'altra è solo la metà di un altro terzo...
spero sia chiaro ... non ho scritto formule né fatto disegni, perché mi pare facile!

[dr00ster]

Semplice e chiarissimo

[Erasmus_First]

"dr00ster":[...] dimostrare che dato un triangolo qualsiasi $ABC$ i 3 triangoli ottenuti congiungendo il baricentro con ognuno dei vertici hanno la stessa area

La distanza del baricentro dal punto medio di un lato è metà della distanza dal vertice opposto. Quindi la distanza del baricentro da un lato – distanza che è l'altezza di uno dei tre triangolini rispetto al lato comune col dato triangolo – è un terzo della distanza da quel lato del vertice opposto – distanza che è l' altezza del dato triangolo rispetto a quel lato –.
Morale: Dato il triangolo ABC di baricentro G, i triangoli ABG, BCG e CAG hanno la stessa area in quanto l'area di ciascuno è un terzo dell'area di ABC.
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[giulylanza06]

"dr00ster":Giustamente, l'incentro divide il triangolo in tre triangoli di uguale area solamente se i lati sono congruenti...
...ma mi riferivo all'intersezione delle mediane, non all'intersezione delle bisettrici!!

Che svista ahah