Babbo geometrico

[zimmerusky]

Babbo Natale ha davanti un triangolo $ABC$ con lati $AB=52$, $BC=60$ e $CA=56$, sia $P$ un punto sul lato $BC$ tale che il cerchio inscritto nel triangolo $ABP$ ha lo stesso raggio di quello inscritto nel triangolo $ACP$. Aiutiamo Babbo Natale a trovare il quadrato della lunghezza di $AP$.

$2016$

[axpgn]

$BP=27.68$

[zimmerusky]

Questo non l'ho risolto, come hai proceduto?

[axpgn]

Beh, $AP$ l'avevi già calcolato tu quindi ho deciso di calcolare $BP$

Dato che non mi veniva niente di "furbo" per risolvere allora ho deciso di fare così ...

La distanza dei centri dei cerchi da $BC$ è la stessa quindi le distanze dei centri dei cerchi da $AP$ si trovano sullo stesso segmento, ne consegue che i cerchi sono tangenti (in un punto che chiamiamo $Q$).
Quindi $AQ$ è tangente ad entrambi e sarà congruente ad $AC'$ (punto di tangenza su $AC$) come pure congruente ad $AB'$ (punto di tangenza su $AB$).
Ovvero $AP$ è bisettrice di $B\hatAC$.

Stabilito questo, da qui in poi solo conti usando un po' di trigonometria ... difatti il valore che ho trovato è approssimato.

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Ho scoperto un paio di teoremi sulle bisettrici e con questi si può calcolare $AP$ direttamente.

Cordialmente, Alex

[zimmerusky]

Beh si, ho letto di fretta la soluzione ma se hai ricavato $BP$ partendo da $AP$ allora era più facile

[axpgn]

No, ho trovato prima $BP$ e poi $AP$; questo la prima volta ...

Poi, dopo aver scoperto un paio di cose sulla bisettrice di un triangolo ho fatto così:

La bisettrice dell'angolo interno di un triangolo taglia il lato su cui cade in due parti proporzionali ai due lati che compongono l'angolo della bisettrice.

Quindi da $AB : AC = BP : CP$ abbiamo $(AB+AC) : AB = (BP+CP) : BP$ cioè $(52+56) : 52 = 60 : BP$ da cui $BP=(52*60)/108=28.\bar(8)$

La lunghezza della bisettrice di una angolo interno di un triangolo è pari a $b_A=2/(AB+AC)*sqrt(AB*AC*p*(p-BC))$ dove $b_A$ è la lunghezza della bisettrice relativa all'angolo in $A$ e $p$ il semiperimetro.

Per cui $b_A=2/(52+56)*sqrt(52*56*84*(84-60))=44.87$

Cordialmente, Alex