Autobus

[axpgn]

Tiziano si trova nella sua abitazione e deve prendere un treno che parte dalla stazione esattamente tra mezz'ora.
Sotto la sua abitazione c'è la fermata degli autobus della linea A che lo portano alla stazione in 20 minuti.
A 5 minuti di cammino vi è una fermata delle linee B e C che lo possono portare alla stazione in 18 minuti.
Tiziano non conosce l'orario di passaggio degli autobus ma sa che su ognuna delle linee gli autobus passano ogni quarto d'ora.

Quale strategia conviene a Tiziano per avere maggiore probabilità di prendere il treno?



Cordialmente Alex

[moccidentale]

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[giammaria2]

Confesso di non capire bene l'origine dei numeri usati da sellacollesella. Inoltre, a lume di naso, una probabilità del 93% mi sembra eccessiva.

Se decide di prendere la linea A, gli restano 10 nminuti di buono, quindi la probabilità di arrivare in orario è $p(A)=10/15=0,667$
Se invece decide per un'altra linea, gli restano 7 minuti, quindi $p(B)=p(C)=7/15$. Poiché le linee sono due, la probabilità di arrivare in orario è $p(B)+p(C)-p(B)*p(C)=0,716$.
Gli conviene quindi il secondo comportamento.

[moccidentale]

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[Quinzio]

L'orario esatto di passaggio dei bus e' una variabile aleatoria con distribuzione uniforme nei 15'.

Strategia A:
sono 20' di bus, per cui se il bus arriva nei primi 10', bene, altrimenti si perde il treno. Siccome il bus passa ogni 15', la probabilita' di prendere il treno e' $10/15 = 2/3 \approx 0.666..$.

Strategia BC:
Servono 5' di cammino e poi il bus ci mette 18' per cui in pratica e' come se il bus ci mettesse 5'+18' = 23'.
Quindi se uno dei due bus, B o C, arriva entro 7' (30-23) da quando si arriva alla fermata, bene, altrimenti si perde il treno.
Per visualizzare lo spazio delle probabilita', si deve immaginare un piano xy, dove un punto rappresenta un evento del tipo "il bus B arriva dopo 2' e il bus C arriva dopo 10'". questo punto ad es. avra' coordinate (2, 10).
Lo spazio delle probabilita' e' quindi un quadrato di lato 15. Gli eventi per cui si perde il treno sono il quadrato che ha come due vertici i punti (7,7) e (15,15).
(7,7) deriva dai 23' di viaggio, piu' 7' si arriva ai 30' minuti, dopodiche' si perde il treno.
Fatta 1 la probabilita' sull'intero quadrato, la probabilita' di prendere il treno e' $1 - (8/15)^2 \approx 0.715...$

Dunque la strategia migliore e' BC.

[giammaria2]

Per le linee B e C, Quinzio ed io abbiamo fatto ragionamenti diversi, ottenendo però lo stesso risultato, che finisce con un 5 periodico; io l'ho arrotondato a 6.

[axpgn]

@giammaria, @Quinzio

Facciamo

$161/225$

e non se ne parli più


Benissimo ad entrambi

Però ...

va anche dimostrato che una qualche strategia intermedia non sia migliore

@sellacollesella

Se dopo aver atteso 10 minuti, va all'altra fermata, anche se il bus arrivasse immediatamente non riuscirebbe a prendere il treno in tempo, questo è il punto fallace

[moccidentale]

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[axpgn]

"Tiziano non conosce l'orario di passaggio degli autobus", così sta scritto e così è
Peraltro, al massimo potrebbe leggere gli orari della linea A ma non gli altri senza recarvisi

[moccidentale]

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[axpgn]

"sellacollesella":Sì, è così che ho strutturato la prima strategia (al netto dei conti fantasiosi). Scendo e leggo gli orari di A, se non passa entro i primi 10 minuti mi fiondo alla fermata di B e C, dove a sua volta consulto le tabelle degli orari e capisco se riuscirò a prendere il treno o meno.

No, non è necessario recarsi all'altra fermata per sapere che NON potrai prendere il treno se aspetti 10 minuti alla prima (gli orari NON li conosci, è una delle ipotesi del problema che perciò non puoi scavalcare): 10 minuti di attesa + 5 minuti di cammino + 18 minuti di bus = 33 minuti -> fuori tempo massimo.

[moccidentale]

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[axpgn]

L'ipotesi di NON conoscenza degli orari è fondamentale perché il problema abbia senso.
Se Tiziano potesse leggere gli orari della linea A sotto casa allora non ci sarebbe il problema ovvero se A arriva in dieci minuti sto qua se no vado là e spero.
Tra l'altro non viene richiesta (esplicitamente) la probabilità ma la strategia migliore.
Comunque attendo risposte su eventuali strategie miste, per ora non ancora esplicitamente escluse