Area senza integrali

[.Ruben.17]

Calcolare al variare di $a$ e $b$ reali l'area compresa tra:
-la retta $y=0$
-la retta $x=a$
-la retta $x=b$
-la parabola $y=x^2$

Non si possono usare gli integrali nè le derivate. Sono ammessi solamente i limiti.

Generalizzare alla parabola $y=u_2 x^2 + u_1 x + u_0$

[@melia]

Con il teorema di Archimede non servono neppure i limiti.

[.Ruben.17]

Corretto!
Ma esiste un'altra soluzione moolto più algebrica e istruttiva che segue la stessa idea degli integrali definiti

Sommate i rettangolini

[orsoulx]

Scusate se vado un po' fuori tema, tanto, vista la partecipazione, non credo di disturbare eccessivamente.
Le coniche, con le innumerevoli loro proprietà, sono (potrebbero essere) un fertile terreno da cui ricavare problemi molto interessanti, belli, semplici nella loro soluzione e ricchi di spunti per successive applicazioni. Purtroppo, per esigenze di tempo (ed il costante ampliamento dei programmi è, a mio avviso, nefasto sotto questo aspetto) ci si riduce spesso ad utilizzare esercizi meccanici e ripetitivi che sviliscono la matematica.
Propongo una soluzione che media fra quelle di @melia e di .Ruben., rivisitando con la geometria analitica una delle dimostrazioni fornite da Archimede.

Nel disegno le rette rosse sono la tangente nel vertice e l'asse della parabola, che diventano gli assi cartesiani; $ C(c,c^2) $ il punto della medesima equidistante dalle rette $ x=a; x=b $, con $ a L'area $ A_{sp} $ del segmento parabolico (ad una base) individuato dalla secante $ AB $ si può approssimare grossolanamente con quella del triangolo $ ACB $
[L1] $ A_{ACB}=h^3 $. L'area del triangolo $ ACB $ (in azzurro tenue) dipende solo dalla distanza fra le rette $ x=a, x=b $.
Si può dimostrare in tanti modi, ad esempio, considerando il punto medio di $ AB $ avremo $ M(c, c^2+h^2) $ da cui $ CM=h^2 $ e, pensando $ ABC $ scomposto nei due triangoli $ ACM $ e $ CBM $ aventi base in comune $ CM $ ed altezza $ h $, terminare la dimostrazione.

I lati $ AC $ e $ CB $ del triangolo individuano due ulteriori segmenti parabolici, ognuno dei quali si può nuovamente approssimare nello stesso modo (triangoli in azzurro intermedio e rette tratteggiate). L'area di ciascuno di questi triangoli sarà $ 1/8 $ di quella di $ ABC $ e, quindi, quella della loro somma $ 1/4 h^3 $.
Restano da determinare le aree di quattro segmenti parabolici più piccoli (nella figura, in blu, i triangoli approssimanti i primi due da sinistra) che porteranno un nuovo contributo pari ad $ 1/4 $ di quello precedente, cioè $ 1/16 h^3 $... e così via.
Dopo $ n $ iterazioni $ A_{sp} >= h^3(1+1/4+1/16+...+(1/4)^(n-1)) $.
Se ci accontentiamo di una 'dimostrazione spannometrica' possiamo usare la somma della serie e buonanotte; se si vuole seguire Archimede nella sua ricerca del rigore euclideo occorre maggiorare l'area cercata.

[L2] $ m_{AB}=2c $. Il coefficiente angolare della retta $ AB $ non dipende da $ h $ ed è il doppio dell'ascissa di $ c $.
Infatti, è $ m_{AB}=((c+h)^2-(c-h)^2)/((c+h)-(c-h))=(c+h)+(c-h)=2c $.

Ma $ 2c $ è anche il coefficiente angolare della tangente alla parabola in $ C $ e perciò $ A A' B' B $ è un parallelogramma e $ "A A'' B'' B" $ un rettangolo, aventi entrambi area doppia di quella di $ A_{ABC}=h^3 $. Perciò la parte di settore parabolico esterna al triangolo ha sicuramente area minore del medesimo. Questa proprietà, applicabile a qualsiasi triangolo utilizzato nella costruzione, consente di affermare che, dopo $ n $ iterazioni: $ h^3(1+1/4+1/16+...+(1/4)^(n-1)) <= A_{sp} <= h^3(1+1/4+1/16+...+2*(1/4)^(n-1)) $.
Dunque considerando il limite per $ n $ tendente all'infinito $ A_{sp}=4/3 h^3= 1/6 (b-a)^3 $ e, come contorno, il teorema di Archimede.

Ciao
@.Ruben., in "Pensare un po' di più", dorme da circa un mese un problema che hai proposto.