Area massima di un quadrilatero

[giammaria2]

All'esame di maturità del 1981 è stato proposto il problema che vedete qui sotto e tutti gli allievi ne hanno dato una soluzione del tipo di quella che trovate qui. E' però possibile rispondere alla domanda sull'area massima in modo MOOOLTO più veloce; sapreste trovarlo?
Il problema era:
In un sistema di assi coordinati cartesiani si scrivano le equazioni delle due circonferenze passanti per l'origine O ed aventi i centri rispettivamente nei punti C'(2; 0) e C"(-1/2; 0). Condotte per il punto O due rette mutuamente perpendicolari, delle quali la prima incontra le due circonferenze, oltre che nel punto O, nei due punti A e B rispettivamente e la seconda nei punti C e D, si determini il quadrilatero ACBD avente area massima.

[Andrea571]

"giammaria": E' però possibile rispondere alla domanda sull'area massima in modo MOOOLTO più veloce; sapreste trovarlo?

Poiché simmetrico rispetto all'asse $x$, ho preso in considerazione solo i punti (guardate il grafico nel link) $A$ e $D$; Ho calcolato la retta passante per quei due punti ($y=(m (4+3 x))/(4+m^2)$), quindi basta dire quando l'integrale tra $A$ e $D$ di quella retta ha valore massimo; Poiché la derivata dell'integrale è la funzione stessa, ho calcolato il suo valore tra $A$ e $D$, ottenendo: $(3m)/(m^2+1)$, che è massimo con $m=1$.

Sono comunque alla ricerca di un metodo più veloce, Non credo che la soluzione fosse questa.

[giammaria2]

Quella che hai usato è una buona scorciatoia, ma hai ragione nel supporre che la risposta non fosse quella; il metodo a cui pensavo è più veloce.

[gugo82]

@ Andrea57: Ma, in generale, il quadrilatero \(ACBD\) non è affato simmetrico rispetto alle ascisse.

@ giammaria: "A naso", la risposta dovrebbe essere la configurazione simmetrica rispetto alle ascisse (non ho guardato le soluzioni sul sito). Guardando un po' di disegnini, ho una mezza idea geometrica, ma non mi consente ancora di concludere.
Suggerimenti?

[giammaria2]

Il vero suggerimento sarebbe di un'unica parola, ma renderebbe il tutto troppo facile; la dirò fra due o tre giorni se ancora non ci saranno state buone risposte. Per ora mi limito a dire che non ho usato alcuna simmetria, a meno di considerare come tale un qualcosa che si studia proprio agli inizi della geometria.
Magari fra 24 ore darò un suggerimento un po' meno chiaro di quello di cui ho appena parlato.

[Epimenide93]

La parola magica è per caso...

similitudine?

[Andrea571]

"giammaria":Il vero suggerimento sarebbe di un'[size=150]unica[/size] parola...

Beh questo potrebbe già essere un aiuto
Devo spremermi le meningi.

[giammaria2]

La mia parola magica non è quella suggerita da Epimenide93; forse anche quella può essere una buona strada ma per ora non saprei percorrerla.

[The_eagle1]

Salve ci provo anch'io

Facendo una piccola considerazione geometrica quando le rette combaciano con gli assi cartesiani il quadrilatero degenera in un punto. . .quindi la massima estensione si dovrebbe avere al combaciare delle rette con le bisettrici dei quadranti cartesiani (supponendo che l'ampiezza areale aumenti man mano che le rette si allontanino dagli assi)

[giammaria2]

"The_eagle":Salve ci provo anch'io
... (supponendo che l'ampiezza reale aumenti man mano che le rette si allontanino dagli assi)

Una supposizione un po' azzardata, non trovi?
Do il mezzo consiglio di cui parlavo, anche se vedo che molti lo stanno già seguendo: usate l'analitica solo per capire com'è la figura.
Domani verso quest'ora dirò l'unica parola del suggerimento.

[The_eagle1]

hai ragione, non conosco l'andamento dell'ampiezza dell'area ma era un modo per far comprendere la mia intuizione che a quanto pare è sbagliata

[giammaria2]

Arrivi al risultato giusto e ad intuito sembra prevedibile ma talvolta l'intuito sbaglia; non possiamo basarci su di esso per un ragionamento matematico.

[gugo82]

@ giammaria: L'idea che avevo era la seguente.

Considero i quattro triangolini di cui è composto il poligono, i.e. \(AOC\), \(COB\), \(BOD\) e \(DOA\), tutti rettangoli in \(O\) per costruzione, di modo che:
\[
\operatorname{area} (ACBD) = \operatorname{area} (AOC) + \operatorname{area} (COB) + \operatorname{area} (BOD) + \operatorname{area} (DOA)\; .
\]
I triangoli \(COB\) e \(DOA\) sono inscritti, rispettivamente, in \(\gamma^\prime\) ed in \(\gamma^{\prime \prime}\), ergo le corde \(CB\) e \(DA\) sono sempre diametri. Per una nota proprietà dei triangoli rettangoli inscritti in una stessa circonferenza (che poi è equivalente alla disuguaglianza tra media geometrice e media aritmetica), le aree \(\operatorname{area} (COB)\) e \(\operatorname{area} (DOA)\) sono massime quando e solo quando i due triangoli \(COB\) e \(DOA\) sono isosceli e ciò si verifica solo se le due rette per \(O\) usate in costruzione coincidono con le bisettrici dei quadranti.
Quindi il guess è che il massimo dell'area sia raggiunto in questa "configurazione simmetrica".

Quello che mi manca è far vedere che anche le aree \(\operatorname{area} (AOC)\) e \(\operatorname{area} (BOD)\) sono massime in "configurazione simmetrica" (cosa per altro, confermata sperimentalmente usando GeoGebra... ).

[giammaria2]

Ho avuto qualche difficoltà a seguirti perché nella mia figura $C,D$ sono scambiati rispetto alla tua, ma alla fine ho capito; la tua idea è bella ma ne manca un pezzo, come tu stesso noti.
La mia soluzione è completamente diversa; temo però che quell'unica parola non basterà e ne aggiungerò qualche altra, in spoiler.

[giammaria2]

Il suggerimento di un'unica parola è TRIGONOMETRIA; se non vi basta ne trovate un altro in spoiler. Vi avviso però che è fin troppo dettagliato e rischia di togliervi il gusto della soluzione.

Considero gli altri estremi dei diametri per $O$, che chiamo $P(4,0)$ e $Q(-1,0)$ e che congiungo con ...

[giammaria2]

Tutti tacciono, probabilmente pensando che il problema è ormai troppo facile. A me però piacciono poco le domande senza risposta e quindi mando la soluzione; la spoilerizzo per non togliere divertimento a chi volesse cimentarsi in futuro.

Considero gli altri estremi dei diametri per O, che chiamo P(4,0) e Q(−1,0) e che congiungo con i vertici che stanno sulla loro circonferenza; ogni tratto di congiungimento completa un triangolo rettangolo (perché inscritto in una semicirconferenza).
Pongo $A hatOP=phi$ con la limitazione $0 Osservando i predetti triangoli rettangoli e ricordando che gli angoli opposti al vertice sono uguali e che le due rette sono perpendicolari ho
$OA=OPcosAhatOP=4cosphi$
$OB=OQcosBhatOQ=cos phi$
$OC=OPcosChatOP=4cos(pi/2-phi)=4sinphi$
$OD=OQcosDhatOQ=cos(pi/2-phi)=sinphi$
e quindi

$AB=OA+OB=5cosphi$
$CD=OC+OD=5sinphi$

Per il teorema dell'area del quadrilatero
$S=1/2AB*CD*sin frac pi 2=1/2*5cosphi*5sinphi*1=25/2sinphicosphi=25/4sin2phi$
Il seno vale al massimo $1$, quando il suo argomento è $pi/2$; perciò
$Max{(2phi=pi/2->phi=pi/4), (S=25/4*1=25/4):}$

[Sk_Anonymous]

Si dimostra facilmente ( vedi fig. allegata) che AC e BD sono parallele e che pertanto il quadrilatero $ACBD$ è in effetti un trapezio di basi AC e BD e di altezza EH ( = distanza del punto E, appartenente ad AC, da BD).
D'altra parte risulta : $\hat{AOC}=\hat{BOD}={pi}/2$ e quindi $AC,BD$ sono diametri delle rispettive circonferenze.
Ne segue che:
$(1) Area(ACBD)=1/2(AC+BD) cdot EH=1/2 cdot( 1+4) \cdot EH=5/2EH$
Dal triangolo EHF, rettangolo in H, si ha poi: $EH<=EF=1/2+2=5/2$ e quindi dalla (1) :
$Area(ACBD)<=5/2 cdot 5/2={25}/4$
Si conclude che l'area massima di $ACBD$ vale ${25}/4$
Tale massimo è raggiunto quando $EH=EF$, ovvero quando le basi AC e BD sono entrambe perpendicolari alla retta EF dei centri.