Angoli Acuti

[axpgn]

Un $n$-gono convesso quanti angoli acuti può avere al massimo?



Cordialmente, Alex

[Cosimo.14]

3 , se fossero più di 3, mettiamo 4 allora la loro unione sarebbe un poligono interno al poligono di partenza per via della convessità con 4 angoli acuti e la somma dei suoi angoli sarebbe minore di 360 gradi che è assurdo, infatti allora almeno un angolo del poligono dovrebbe essere maggiore di 180 gradi per compensare e quindi il poligono di partenza non sarebbe convesso

Ci ho provato un paio di volte, spero che adesso l’abbia azzeccata.

[axpgn]

Non mi è chiarissimo il tuo ragionamento ... potresti dettagliare meglio?

[Cosimo.14]

Sì ci riprovo

Intanto se colleghiamo i vertici degli n angoli acuti ottengo un poligono in cui al più ogni angolo acuto e’ minore o uguale degli angoli acuti di partenza, se n e’ maggiore di 3 ottengo un assurdo e potrei fermarmi con la dimostrazione (se un angolo fosse maggiore dell’angolo acuto di partenza il collegamento uscirebbe fuori dal poligono di partenza e non sarebbe convesso). Ho aggiunto solo che in caso un lato del poligono costruito con gli angoli acuti formerebbe un angolo maggiore di 180 gradi per non incappare nell’assurdo, ma allora anche il poligono di partenza dovrebbe avere un angolo maggiore di 180 gradi e non sarebbe convesso. La dimostrazione potrebbe finire all’assurdo ma ho aggiunto questa cosa che secondo me è vera ma al momento non mi viene una dimostrazione

[axpgn]

Premesso che faccio fatica a "vedere" la tua dimostrazione, la mia sensazione è che sia giusta ma formalmente è tutta da costruire ... IMHO

Una dimostrazione alternativa è questa ...

Per ogni angolo interno acuto esiste un angolo esterno ottuso ad esso "associato".
La somma di tutti gli angoli esterni è $360°$ quindi non possono esserci più di tre angoli esterni ottusi e ne consegue che non possono esserci più di tre angoli interni acuti.

Per completezza ci sarebbe da dimostrare che $3$ è effettivamente un massimo raggiungibile

[DavidGnomo1]

Baro prendendo il ragionamento che ha fatto Cosimo
Nozioni conosciute:
1. La somma di tutti gli angoli esterni è $360°$
2. La somma dell'angolo interno con il suo rispetto esterno è $180°$
3. Un angolo si dice acuto se misura meno di $90°$

Quindi. Se proviamo ad immaginare che esista un generico numero $n$ di angoli interni.
Questo significa che per ciascuno di queste $n$ angoli interni esiste il corrispettivo angolo esterno che deve essere necessariamente maggiore di $90°$.
Quindi il totale dovrebbe essere $n*90+c > n*90°$.
Tuttavia, essendo il totale degli angoli esterni $360°$ deve necessariamente verificarsi che $n*90 < 360$.
Da cui abbiamo $n < 4$. Vi torna? Non so se è corretto utilizzare $n*90°$ invece del "reale" valore.

[Cosimo.14]

Secondo me la il mio ragionamento non è sbagliato, io in fondo trovo l’assurdo perché altrimenti esisterebbe un triangolo la cui somma degli angoli interni è minore di 180 gradi (se dividi il poligono costruito in triangoli devi avere somma degli angoli = k*180 dove k è il numero di triangoli ma dato che gli angoli sono tutti acuti la somma sarà < n*90 con n numero degli angoli acuti e si ha che n = k + 2 quindi la somma sarà < k*90 + 180 da cui k*180 < k*90 + 180 ovvero k*90 < 180 cioè k < 2 ovvero k = 1 e quindi il poligono è scomponibile in un unico triangolo).

La tua dimostrazione pure la capisco, ma secondo me è immediata come la mia, ho solo esteso il ragionamento. Per l’ultima domanda basta prendere un triangolo equilatero

[axpgn]

@DavidGnomo
Per la precisione è il MIO ragionamento

[DavidGnomo1]

"axpgn":@DavidGnomo
Per la precisione è il MIO ragionamento

Ahhhhhhhhhahahahahaha
L'ho visto dopo stavo ancora ricopiando e ragionando ahahahha
Perdonooooooooooooo

[axpgn]

@Cosimo
Penso che la mia sia più immediata ma ... de gustibus