Ancora percorso minimo

[donald_zeka]

Siano dati due punti A(a,b) e B(c,d) nella parte di piano cartesiano rappresentata dall'angolo acuto fra il semiasse positivo delle ascisse e il grafico di y=x per x>0. Determinare nel caso generale i punti C su y=x (x>0) e D su y=0 (x>0), tali che la lunghezza complessiva della spezzata ACDB sia minima.
All'inizio mi sembrava abbastanza facile, bastava trovare due punti su y=x e y=0 tali che collegando il punto A con C si formassero angoli incidenti uguali e in seguito porre il punto D in modo tale che le rette CD e DB formino a loro volta angoli incidenti uguali...ma non so come procedere

[vict85]

Ho l'impressione che tu stia proponendo problemi da olimpiade o test di ammissione a qualche corso universitario. La sezione più appropriata è Scervelliamoci un po’

[xdom="vict85"]Sposto in Scervelliamoci un po’[/xdom]

[vict85]

Il problema in questa forma lo trovo poco pratico. Per comodità noto allora che la lunghezza del segmento \(\displaystyle \overline{DB} \) è uguale alla lunghezza del segmento \(\displaystyle \overline{DB'} \) dove \(\displaystyle B' = (c, -d) \) cioè l'immagine speculare di \(\displaystyle B \) rispetto all'asse \(\displaystyle x \). Nel caso del segmento \(\displaystyle \overline{AC} \) posso sostituirlo con il segmento \(\displaystyle \overline{A'C} \) dove \(\displaystyle A' \) è l'immagine speculare di \(\displaystyle A \) rispetto alla bisettrice del primo quadrante. In pratica il punto \(\displaystyle A' = (b, a) \).
I punti \(\displaystyle C \) e \(\displaystyle D \) sono quindi i punti che minimizzano la spezzata \(\displaystyle A'CDB' \) cioè l'intersezione del segmento \(\displaystyle \overline{A'B'} \) punti con le due semirette considerate.