[Analisi] $f(x)$ costante

[dan952]

Sia $f: RR \mapsto RR$ una funzione continua tale che $$f(x)=f(x^2)$$
Dimostrare che $f$ è costante.

[.Ruben.17]

$f(x^2)=f(x)=f(x^{1/2})=f(x^{1/4})=...=f(x^{1/2^n})=...=f(1)$ che é costante

[dan952]

Perché $f(2x)=f(x)$?
Possiamo dire che $f(x^{1/2^n})=f(0)$?! No (a meno che $x=0$ chiaramente)...

Hint:

Usare la definizione di continuità nei punti $x=0$ e $x=1$.

[.Ruben.17]

"dan95":Perché $f(2x)=f(x)$?

Era un typo

Ed era(dovrebbe essere usando la continuità) =f(1) perché ero molto distratto

[dan952]

Sì ok così dimostri grossolanamente che è costante in $[1,+\infty)$, ti manca $[0,1)$

P.s. le soluzioni in spoiler...

[.Ruben.17]

Per $x \in [1; + \infty):$
$f(x^2)=f(x)=f(\sqrt{x})=...=f(x^{1/2^n})=...=f(\lim_{n \to +infty} x^{1/2^n})=\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$
Per $x \in [0; 1):$
$f(x)=f(x^2)=f(x^4)=...=f(x^{2^n})=...=f(\lim_{n \to +infty} x^{2^n})=\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

Dato che per $x \geq 0$ la funzione è costante, allora è costante anche per tutti i reali negativi, dal momento che essa è indubbiamente una funzione pari.

[dan952]

S-P-O-I-L-E-R

Altra soluzione più lunga

Prendiamo $x,y \in [1,+\infty)$ consideriamo le successioni $x_n=\root[2^n]{x}$ e $y_n=\root[2^n]{y}$, per la continuità di $f$ in $1$ abbiamo che $\forall \varepsilon>0$, $\exists N \in NN$ (opportuno) tale che $|f(x_n)-f(1)|<\varepsilon$ e $|f(y_n)-f(1)|<\varepsilon$ per ogni $n\geq N$, da cui usando la disuguaglianza triangolare e l'ipotesi su $f$ risulta
$|f(y_n)-f(1)+f(1)-f(x_n)|=|f(y_n)-f(x_n)|=|f(y)-f(x)| \leq |f(x_n)-f(1)|+|f(y_n)-f(1)|<\varepsilon$
Dal l'arbitrarietà di $\varepsilon$ segue la tesi. Procedimento analogo per $x,y \in [0,1)$.

[sandroroma]

Peccato che la f(x) non sia anche derivabile in R. Se lo fosse, derivando la relazione rispetto ad x, si avrebbe :
$f'(x)=2x*f'(x)$
Da qui, escludendo il caso $x=1/2 $ perché x è variabile in tutto R, si otterrebbe:
$f'(x)=0$ e quind $f(x)=C$
Peccato, veramente!

[dan952]

Dimostra che è derivabile se ci riesci

[kobeilprofeta]

"sandroroma":

Peccato che la f(x) non sia anche derivabile in R. Se lo fosse, derivando la relazione rispetto ad x, si avrebbe :
$f'(x)=2x*f'(x)$
Da qui, escludendo il caso $x=1/2 $ perché x è variabile in tutto R, si otterrebbe:
$f'(x)=0$ e quind $f(x)=C$
Peccato, veramente!

Ma non sarebbe $f'(x)=2x*f'(x^2)$ ??

[sandroroma]

Ha ragione Kobel: ho sbagliato. Prego non tener conto della mia risposta...

[Sk_Anonymous]

Vediamo...

Un'idea (più o meno formalizzata): siccome \(f\) è continua (anche) in \(x=1\) si ha che, fissato \(\epsilon >0 \), \[|f(1) - f(x^{2n})| < \epsilon \] per ogni \(x \in [1, 1+\delta(\epsilon)]\) e ogni \(n \in \mathbb{N}\), con \(\delta(\epsilon)>0\). Se poi \(g_n (x) = x^{2n}\) allora \( g_n ([1,1+\delta]) =[1,(1+\delta)^{2n}]\) per il teorema dei valori intermedi; siccome poi \( (1+\delta)^{2n} \to \infty\) per \(n \to \infty\) si ottiene che \[ |f(1) - f(y)| < \epsilon \] per ogni \(y \in [1,+\infty)\). Si conclude per l'arbitrarietà di \(\epsilon\).
Il caso in \([0,1]\) si fa sfruttando la continuità di \(f\) in \(0\).

[Erasmus_First]

"dan95":Sì ok così dimostri grossolanamente che è costante in $[1,+\infty)$, ti manca $[0,1)$

No: è giusto e sufficiente notare che, per ogni $n$ intero positivo:
$f(x)=f(x^2) ⇒ f(x)=f(x^(2^n))$
perché
a) $x<0 ∧ f(x)=f(x^2) ⇒ f(x) = f(-x)$
b) $ f(x)=f(x^(2^n)) ⇔ f(x)=f(|x|^(2^(-n)))$ (come risulta subito considerando come variabile $x_1 = x^(2^n)$).
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