Algebra & Ciclismo

[matematicamente87]

Buongiorno, mi sono appena iscritto al forum e spero di essere nella sezione giusta.

Sono appassionato di ciclismo e sto realizzando un foglio di calcolo.
Conosco l'equazione che esprime la potenza sviluppata in funzione della veocità (e altri parametri), che è la seguente:

potenza=[peso*(pendenza/100+0,01)+0,021*(velocità*1000/3600)^2]*(velocità*1000/3600)*9,81

Mi aiutate a ricavare la velocità in funzione degli altri parametri ?
In questo modo, conoscendo il peso del ciclista, la sua potenza e la pendenza del percorso, potrei calcolare la velocità e
quindi il tempo impiegato per concludere il percorso.

Grazie

[dan952]

Per scrivere in latex basta mettere \$ \$ , in modo da renders più comprensibile l'equazione

[matematicamente87]

$potenza=[peso*(pendenza*1/100+0,01)+0,021*(velocità*1000/3600)^2]*(velocità*1000/3600)*9,81$

[dan952]

Sai risolvere le equazioni di terzo grado?

[matematicamente87]

Questa non la so risolvere.

[axpgn]

Se usi Excel ti basta la funzione "ricerca obiettivo" senza complicarti la vita nel trovare la formula inversa ...

[Erasmus_First]

"matematicamente87":$potenza=[peso*(pendenza*1/100+0,01)+0,021*(velocità*1000/3600)^2]*(velocità*1000/3600)*9,81$

Strana formula!

• Con "peso" in realtà si intende "massa" (in kg: ciclista + bici + eventuali oggetti solidali con ciclista e bici);
• "9,81" è evidentemente l'accelerazione di gravità (in m/s^2);
• Con "pendenza" si intende la pendenza percentuale (per esempio 10 se la pendenza è 10%).
Allora la parte di potenza spesa in acquisto di energia potenziale di gravità (cioè per l'eventuale salita) va [quasi] bene (e la potenza è in watt, W).
Ma quel che non son sicuro di aver capito è la parte di potenza spesa contro gli attriti.
Evidentemente "velocità" è in km/ora dato che quella in m/s viene moltipklicando per [1000 (m/km)]/[3600 (s/ora)].
Supponiamo pure che la forza di attrito sia proporzionale al quadrato della velocità (ciò che però va bene solo attorno a velocità abbastanza sostenute, ma non va bene per le basse velocità quali quelle in salite a notevole pendenza).
Che ci sta a fare il prodotto per l'accelerazione di gravità?
Forse la formula è empirica e di questo numero di troppo tien conto il fattore 0,021.
Cioè: la parte di potenza spesa contro gli attriti, (detta $p_a$ tale potenza in watt, v la velocità in m/s ed f la forza di attrito in newton N) risulterebbe da quanto segue:
$(p_a = f·v)$ ∧ $(f = [0,021·9,81]· v^2 ≈ 0,206·v^2)$ ⇒$(p_a= 0,206v^3)$.

E' così?

Allora c'è da risolvere una equazione del tipo x^3 + a·x - b = 0 (con a > 0 e b > 0).
Con i mezzi di calcolo moderni non conviene applicare le formula che risolve in generale una tale equazione di 3° grado (tramite radici cubiche), ma risolvere l'equazione caso per caso con qualche metodo numerico di approssimazione successiva (per esempio per dicotomia).

________

[axpgn]

Erasmus, fidati: venti secondi per scrivere la formula in Excel ed è fatta ...

[matematicamente87]

"axpgn":Se usi Excel ti basta la funzione "ricerca obiettivo" senza complicarti la vita nel trovare la formula inversa ...

Ottima soluzione che non conoscevo, però credo debba essere applicata ad ogni singola cella. Avendo l'equazione in funzione della potenza si otterrebbe il risultato contemporaneamente su più celle o su un'intera colonna.

[matematicamente87]

"Erasmus_First":[quote="matematicamente87"]$potenza=[peso*(pendenza*1/100+0,01)+0,021*(velocità*1000/3600)^2]*(velocità*1000/3600)*9,81$

Strana formula!

• Con "peso" in realtà si intende "massa" (in kg: ciclista + bici + eventuali oggetti solidali con ciclista e bici);
• "9,81" è evidentemente l'accelerazione di gravità (in m/s^2);
• Con "pendenza" si intende la pendenza percentuale (per esempio 10 se la pendenza è 10%).
Allora la parte di potenza spesa in acquisto di energia potenziale di gravità (cioè per l'eventuale salita) va [quasi] bene (e la potenza è in watt, W).
Ma quel che non son sicuro di aver capito è la parte di potenza spesa contro gli attriti.
Evidentemente "velocità" è in km/ora dato che quella in m/s viene moltipklicando per [1000 (m/km)]/[3600 (s/ora)].
Supponiamo pure che la forza di attrito sia proporzionale al quadrato della velocità (ciò che però va bene solo attorno a velocità abbastanza sostenute, ma non va bene per le basse velocità quali quelle in salite a notevole pendenza).
Che ci sta a fare il prodotto per l'accelerazione di gravità?
Forse la formula è empirica e di questo numero di troppo tien conto il fattore 0,021.
Cioè: la parte di potenza spesa contro gli attriti, (detta $p_a$ tale potenza in watt, v la velocità in m/s ed f la forza di attrito in newton N) risulterebbe da quanto segue:
$(p_a = f·v)$ ∧ $(f = [0,021·9,81]· v^2 ≈ 0,206·v^2)$ ⇒$(p_a= 0,206v^3)$.

E' così?

Allora c'è da risolvere una equazione del tipo x^3 + a·x - b = 0 (con a > 0 e b > 0).
Con i mezzi di calcolo moderni non conviene applicare le formula che risolve in generale una tale equazione di 3° grado (tramite radici cubiche), ma risolvere l'equazione caso per caso con qualche metodo numerico di approssimazione successiva (per esempio per dicotomia).

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[/quote]

Per forza di cose bisogna fare delle approssimazioni (l'attrito di ogni tratto stradale sarebbe difficilmente misurabile, così come quello esercitato dall'aria, ecc.)
Per approfondire: http://unodivoi.altervista.org/Scritti% ... clista.htm

[axpgn]

@matematicamente87
Non capisco cosa intendi dire ... quattro caselle, una per ogni dato, in una ci metti il peso, in un'altra la pendenza, in quella della velocità ci metti un valore a caso e in quella della potenza la formula (io la spezzetterei in 4/5 pezzi e qui ci metterei solo la somma finale, ma è questione di gusti ... )
Selezioni la casella con la formula della potenza, selezioni dal menù "strumenti" l'opzione "ricerca obiettivo", lasci stare "imposta la cella" che va bene così, nella casella "al valore" ci metti la potenza che vuoi e in "cambiando la cella" selezioni la casella della velocità ... fatto!

Cordialmente, Alex

[matematicamente87]

Intendevo dire che nel foglio di calcolo ho una grande quantità di dati, relativi a percorsi diversi (quindi pendenze) o uscite diverse (quindi massa del ciclista, che varia a seconda dei giorni) su uno stesso percorso.

[axpgn]

Ma quanti dati hai? Se hai 10/20 pendenze e 10/20 pesi, per fare una tabellina non ci vuole tanto ...

[kobeilprofeta]

"Erasmus_First":[quote="matematicamente87"]$potenza=[peso*(pendenza*1/100+0,01)+0,021*(velocità*1000/3600)^2]*(velocità*1000/3600)*9,81$

Strana formula!

• Con "peso" in realtà si intende "massa" (in kg: ciclista + bici + eventuali oggetti solidali con ciclista e bici);
• "9,81" è evidentemente l'accelerazione di gravità (in m/s^2);
• Con "pendenza" si intende la pendenza percentuale (per esempio 10 se la pendenza è 10%).
Allora la parte di potenza spesa in acquisto di energia potenziale di gravità (cioè per l'eventuale salita) va [quasi] bene (e la potenza è in watt, W).
Ma quel che non son sicuro di aver capito è la parte di potenza spesa contro gli attriti.
Evidentemente "velocità" è in km/ora dato che quella in m/s viene moltipklicando per [1000 (m/km)]/[3600 (s/ora)].
Supponiamo pure che la forza di attrito sia proporzionale al quadrato della velocità (ciò che però va bene solo attorno a velocità abbastanza sostenute, ma non va bene per le basse velocità quali quelle in salite a notevole pendenza).
Che ci sta a fare il prodotto per l'accelerazione di gravità?
Forse la formula è empirica e di questo numero di troppo tien conto il fattore 0,021.
Cioè: la parte di potenza spesa contro gli attriti, (detta $p_a$ tale potenza in watt, v la velocità in m/s ed f la forza di attrito in newton N) risulterebbe da quanto segue:
$(p_a = f·v)$ ∧ $(f = [0,021·9,81]· v^2 ≈ 0,206·v^2)$ ⇒$(p_a= 0,206v^3)$.

E' così?

Allora c'è da risolvere una equazione del tipo x^3 + a·x - b = 0 (con a > 0 e b > 0).
Con i mezzi di calcolo moderni non conviene applicare le formula che risolve in generale una tale equazione di 3° grado (tramite radici cubiche), ma risolvere l'equazione caso per caso con qualche metodo numerico di approssimazione successiva (per esempio per dicotomia).

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[/quote]


Scusa una curiosità: la % di pendenza è calcolata su cateto od ipotenusa?

[Erasmus_First]

"kobeilprofeta":Scusa una curiosità: la % di pendenza è calcolata su cateto od ipotenusa?

La domanda andrebbe rivolta a chi ha posto il quiz.
Per definizione.la pendenza di un piano inclinato (astrazione, nel nostro caso, della strada) è la tangente [trigonometrica] dell'angolo di inclinazione tra il piano inclinato ed il piano orizzontale. La pendenza è 1 (cioè 100%) per inclinazione di 45°.
Usando le tue parole "è calcolata sul cateto".
Se fosse "calcolata sull'ipotenusa" non sarebbe la tangente ma il seno dell'angolo di inclinazione.
Ovviamente, per piccole pendenze la differenaza non è molta.
Se $p = tan(α)$, allora $sin(α) =p/sqrt(1+p^2)$; e per $p$ piccolo abbiamo (circa) $sin(α) =p(1-(p^2)/2)$.
Per esempio, per p = 0,05 = 5% [cioè un'inclinazione α di circa 2 gradi e 52' primi] abbiamo
$sin(α) =p/sqrt(1+p^2) = 0,04993761694389$;
$p(1-(p^2)/2) = 0,0499375$.

_______

[matematicamente87]

"axpgn":Ma quanti dati hai? Se hai 10/20 pendenze e 10/20 pesi, per fare una tabellina non ci vuole tanto ...

Quanti dati ho? Tantissimissimissimi !

[kobeilprofeta]

"Erasmus_First":

[quote="kobeilprofeta"]Scusa una curiosità: la % di pendenza è calcolata su cateto od ipotenusa?

La domanda andrebbe rivolta a chi ha posto il quiz.
Per definizione.la pendenza di un piano inclinato (astrazione, nel nostro caso, della strada) è la tangente [trigonometrica] dell'angolo di inclinazione tra il piano inclinato ed il piano orizzontale. La pendenza è 1 (cioè 100%) per inclinazione di 45°.
Usando le tue parole "è calcolata sul cateto".
Se fosse "calcolata sull'ipotenusa" non sarebbe la tangente ma il seno dell'angolo di inclinazione.
Ovviamente, per piccole pendenze la differenaza non è molta.
Se $p = tan(α)$, allora $sin(α) =p/sqrt(1+p^2)$; e per $p$ piccolo abbiamo (circa) $sin(α) =p(1-(p^2)/2)$.
Per esempio, per p = 0,05 = 5% [cioè un'inclinazione α di circa 2 gradi e 52' primi] abbiamo
$sin(α) =p/sqrt(1+p^2) = 0,04993761694389$;
$p(1-(p^2)/2) = 0,0499375$.

[axpgn]

Anche perché è più facile da misurare ...

@matematicamente87
Come li hai organizzati?

[matematicamente87]

"kobeilprofeta":[quote="Erasmus_First"][quote="matematicamente87"]$potenza=[peso*(pendenza*1/100+0,01)+0,021*(velocità*1000/3600)^2]*(velocità*1000/3600)*9,81$

Strana formula!

• Con "peso" in realtà si intende "massa" (in kg: ciclista + bici + eventuali oggetti solidali con ciclista e bici);
• "9,81" è evidentemente l'accelerazione di gravità (in m/s^2);
• Con "pendenza" si intende la pendenza percentuale (per esempio 10 se la pendenza è 10%).
Allora la parte di potenza spesa in acquisto di energia potenziale di gravità (cioè per l'eventuale salita) va [quasi] bene (e la potenza è in watt, W).
Ma quel che non son sicuro di aver capito è la parte di potenza spesa contro gli attriti.
Evidentemente "velocità" è in km/ora dato che quella in m/s viene moltipklicando per [1000 (m/km)]/[3600 (s/ora)].
Supponiamo pure che la forza di attrito sia proporzionale al quadrato della velocità (ciò che però va bene solo attorno a velocità abbastanza sostenute, ma non va bene per le basse velocità quali quelle in salite a notevole pendenza).
Che ci sta a fare il prodotto per l'accelerazione di gravità?
Forse la formula è empirica e di questo numero di troppo tien conto il fattore 0,021.
Cioè: la parte di potenza spesa contro gli attriti, (detta $p_a$ tale potenza in watt, v la velocità in m/s ed f la forza di attrito in newton N) risulterebbe da quanto segue:
$(p_a = f·v)$ ∧ $(f = [0,021·9,81]· v^2 ≈ 0,206·v^2)$ ⇒$(p_a= 0,206v^3)$.

E' così?

Allora c'è da risolvere una equazione del tipo x^3 + a·x - b = 0 (con a > 0 e b > 0).
Con i mezzi di calcolo moderni non conviene applicare le formula che risolve in generale una tale equazione di 3° grado (tramite radici cubiche), ma risolvere l'equazione caso per caso con qualche metodo numerico di approssimazione successiva (per esempio per dicotomia).

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Scusa una curiosità: la % di pendenza è calcolata su cateto od ipotenusa?[/quote]

A partire dalla distanza percorsa (ipotenusa) e dislivello (cateto min.) calcolo la distanza in linea d'aria (cateto magg.) col Teorema di Pitagora.
Quindi "è calcolata su cateto".

[matematicamente87]

"axpgn":Anche perché è più facile da misurare ...

@matematicamente87
Come li hai organizzati?

Beh, li ho organizzati bene...

Diversi fogli in relazione tra loro e tante colonne su ciascun foglio... poi magari carico un allegato.

[matematicamente87]

Eureka!
Ho scoperto che altri si erano fatti la stessa domanda e qualcuno aveva già pubblicato la soluzione su bdc-forum:

http://www.bdc-forum.it/showthread.php?t=64894&page=3

Pensavo fosse un forum di ciclisti invece erano matematici