Aiuto equazione diofantea?

[Folpo13]

Trovare tutte le coppie di interi $(x, y)$ che siano soluzioni dell'equazione:

$(x^2+y)(x+y^2)=(x-y)^3$

L'ho trovata sul libro An introduction to Diophantine Equations di Titu Andrescu e Dorin Andrica (il problema è preso dalla 16th USA Mathematical Olympiad).

Non vorrei ricevere la soluzione subito ma per ora solo una dritta . Il libro suggerisce di cercare una fattorizzazione ma non riesco proprio a tirarla fuori da nessuna parte... Da dove inizio?

[qualcuno4]

$(x^{2}+y)(x+y^{2})=(x-y)^{3}$

L'equazione ammette le ovvie soluzioni $(x,0)$

Cerchiamo le altre. Sviluppiamo l'equazione

$2y^{3}+x(x-3)y^{2}+(3x^{2}+x)y=0$

Escudiamo le soluzioni con $y=0$, quindi semplifico $y$

$2y^{2}+x(x-3)y+(3x^{2}+x)=0$

Calcolo il discriminante

$\varDelta=x^{2}(x-3)^{2}-8(3x^{2}+x)=x^{4}-6x^{3}-15x^{2}-8x=x(x^{3}-6x^{2}-15x-8)$

Si vede a vista che si annulla per $x=-1$ effettuando la divisione
si riesce a scomporre

$\varDelta=x(x+1)^{2}(x-8)$

Affinchè si abbiano soluzioni intere $\varDelta$ deve essere il quadrato
di un intero quindi deve risultare:

$\varDelta=x(x-8)=m^{2}$

Per $m=0$ otteniamo:$x=8$,$y=\frac{-x(x-3)}{4}=\frac{-8(5)}{4}=-10$

Supponiamo $m^{2}>0$

$x^{2}-8x-m^{2}=0$

Il discriminante di questa equazione è:$16+m^{2}$, per avere soluzioni
intere esso deve essere un quadrato perfetto

$16+m^{2}=n^{2}$

$16=n^{2}-m^{2}$

$16=(n-m)(n+m)$

Possiamo suppore che sia $n-m>0$ e $n+m>0$

I casi possibili sono:

1)

$n-m=1,m+m=16$ che non ha soluzioni intere

2)

$n-m=2,n+m=8$

la cui soluzione è : $n=5,m=3$

$x^{2}-8x-9=0$

$x_{1}=-1$,$x_{2}=9$

Per $x=-1$ otteniamo

$2y^{2}+4y+2=0$

$y^{2}+2y+1=0$

$y=-1$

Per $x=9$

$2y^{2}+54y+252=0$

$y^{2}+27y+126=0$

$y=-21,y=-6$

3)

$n-m=4,n+m=4$

$m=0,n=0$ situazione gi esaminata

4)

$n-m=8,n+m=2$ come al punto 2

5)

$n-m=16,n+m=1$ nessuna soluzione intera

Concludendo le soluzioni intere sono:

$(x,0),(-1,-1),(8,-10),(9,-21),(9,-6)$

[Folpo13]

Anche troppo...

Grazie mille comunque. Alla fine il passaggio chiave era il primo, di risolvere un'equazione per una delle due incognite . Non mi era venuto proprio in mente...

[giammaria2]

Mi piacerebbe vedere una risposta basata sulla fattorizzazione di cui parla il libro. La mia soluzione inizia come quella di qualcuno ma poi ne differisce; ritrovo le sue soluzioni ma anche altre quattro.

Facendo i calcoli, scrivo l'equazione nella forma
$y(x^2y+x+2y^2+3x^2-3xy)=0$
Dall'annullarsi del primo fattore deduco le infinite soluzioni $(x,o)$; esamino l'annullamento del secondo.
$x^2(y+3)-x(3y-1)+2y^2=0$

$x=(3y-1+-sqrt Delta)/(2(y+3))$

con $Delta=(3y-1)^2-8y^2(y+3)=...=(y+1)^2(-8y+1)$

L'ultimo fattore deve essere un quadrato, naturalmente di un numero dispari, quindi
$-8y+1=(2n+1)^2->...->y=-(n^2+n)/2$
e si vede che per ogni intero $n$ anche $y$ è intero.
Deve essere intero anche $x$, quindi esplicito le sue radici $x_(1,2)$ in funzione di $n$; i calcoli sono un po' lunghi ma facili e danno $x_1=n^2/(n-2)$ ed $x_2=-(n+1)^2/(n+3)$

Esamino $x_1$; si ha
$x_1=n+2+4/(n-2)$
ed è intero se $n-2$ è un sottomultiplo di 4, cioè ha uno dei valori $+-1; +-2; +-4$. Per ognuno di essi ricavo $n$ e ne deduco $x_1$ ed $y$. In due casi ritrovo il già noto $y=0$; negli altri quattro casi, salvo errori, trovo per $(x,y)$ le coppie $(-9,-3),(-8,-6), (1,-3),(-9,-15)$

Ragionamento analogo per $x_2=-(n-1+4/(n+3))$: dà le soluzioni già indicate da qualcuno.