$A+B\sqrt{M} + C\sqrt{N}=0$

[dan952]

Siano $A,B,C$ razionali e $M,N$ non quadrati perfetti tali che $A+B\sqrt{M} + C\sqrt{N}=0$. Supponiamo che $\sqrt{\frac{M}{N}}$ non razionale, dimostrare che $A=B=C=0$

[C0SIM0]

$\frac{A}{sqrt{N}} +B\frac{sqrt{M}}{sqrt{N}} = -C$

$A + Bsqrt{M} - \frac{A}{sqrt{N}} - B\frac{sqrt{M}}{sqrt{N}} = 0$

$A + Bsqrt{M} - \frac{1}{sqrtN}(A + Bsqrt{M}) = 0$

$(A + Bsqrt{M})(\frac{sqrt{N}-1}{sqrt{N}}) = 0$

Si ha $sqrt{N} \ne 1$ , dunque $A = - Bsqrt{M}$

Riscrivo la prima come $A - A + Csqrt{N} = 0$ , dunque $C = 0$

In modo del tutto analogo, con passaggi analoghi ma invertendo $Csqrt{N}$ con $Bsqrt{M}$ ottengo che $B = 0$ e dunque anche $A = 0$.

non vedo errori, prova ad indicarmeli tu perchè non ho fatto minimamente uso del fatto che $\frac{sqrt{M}}{sqrt{N}}$ è irrazionale

[C0SIM0]

Errore trovato, pure bello ciccione, ho sbagliato tutto. Buona notte

P.S.

È strano notare che anche nell’altro problema che ho fatto ho sbagliato eppure ho trovato il risultato esatto, come qui. Devo essere un idiota fortunato lol, buonanotte.

[giammaria2]

Un hint? Io riesco solo a dimostrarlo nell'ipotesi che M, N siano razionali, ma questa ipotesi non c'è .E' vero che uUn numero irrazionale può essere considerato come il limite delle sue approssimazioni razionali, ma questa non mi sembra una dimostrazione rigorosa.

$A+B sqrt M=-C sqrt N$

$A^2+B^2M+2AB sqrt M=C^2 N$
Poiché tutto il resto è razionale, deve esserlo anche $2AB sqrt M$ e poiché $M, N !=0$ (altrimenti sarebbero quadrati perfetti) questo è possibile solo quando si annulla almeno uno fra A, B.
- Se $B=0$, l'ultima formula diventa $A^2=C^2 N$ e deve essere $C=0-> A=0$ perché altrimenti avrei $A^2/C^2=N$, in contrasto con l'ipotesi che N non è un quadrato perfetto.
- Se $A=0$, l'ultima formula diventa $B^2M=C^2 N$ e deve essere $C=0-> B=0$ perché altrimenti avrei $B^2/C^2=N/M $, in contrasto con l'ipotesi che $N/M$ non è il quadrato di un razionale.

[Zero87]

Ho un'idea in mente, ma non so se è giusta (sono arrugginito da anni in matematica ).

Penso al fatto che, se $\sqrt(\frac{M}{N})$ non è razionale, vale che $\sqrt{M}$ e $\sqrt(N)$ non sono entrambi razionali e almeno uno di loro è irrazionale.

1. Supponiamo che solo uno dei due sia razionale, per esempio $\sqrt(M)$ (ragionamento simile vale per l'altro).
Essendo B razionale, vale $B\sqrt(M)$ irrazionale e, di conseguenza, deve valere $A+C\sqrt(N)$ irrazionale, cosa impossibile poiché si tratta di una combinazione lineare di termini razionali per via di questa ipotesi.

2. Supponiamo che siano entrambi irrazionali. In questo caso, come sopra, essendo B e C razionali, si ha $B\sqrt(M)$ e $C\sqrt(N)$ entrambi irrazionali. La loro somma, però, deve essere razionale, ovvero
$B\sqrt(M) + C\sqrt(N) \in \QQ$
questa cosa, però, è impossibile perché $\sqrt(\frac{M}{N})$ è irrazionale.

[giammaria2]

Credo proprio che con "quadrato perfetto" si intenda il quadrato di un razionale. Se si intendesse il quadrato di un intero, casi come $M=(2/3)^2; N=5$ soddisferebbero tutte le ipotesi ma non implicherebbero la tesi.

@ Zero87
Mi sembra che tu ti abbia dimostrato una cosa ovvia e poi abbia sorvolato sulla dimostrazione necessaria.

E' inutile esaminare la razionalità o meno di $sqrt M, sqrt N$: sono certo irrazionali per l'ipotesi che M, N non sono quadrati perfetti.
Occorre invece dimostrare la tua sbrigativa affermazione che $B\sqrt(M) + C\sqrt(N) \in \QQ$ è impossibile nel nostro caso. Intuitivamente è ovvio, ma dimostrarlo è un altro paio di maniche.

[Zero87]

Ciao giammaria, ti ringrazio: effettivamente l'ho dato per scontato.

Facciamo così, dimmi che ne pensi.
Per ipotesi $\sqrt(\frac{M}{N})$ è irrazionale.
Posso dedurre che $\sqrt(MN)$ è irrazionale (moltiplico e divido per N).

A questo punto, raccolgo $C$ nell'espressione e ottengo $C(frac{B}{C}\sqrt(M) + \sqrt(N))$.
Chiamo B/C = X solo per semplicità di lettura. Essendo C razionale, occorre dimostrare che $X\sqrt(M) + \sqrt(N)$ è irrazionale.
Vediamo cosa succede nel porlo razionale, ovvero $\exists m,n \in \ZZ$ primi tra loro, tali che
$X\sqrt(M) + \sqrt(N) = \frac{m}{n}$
Eleviamo al quadrato ambo i membri e otteniamo
$MX^2 + N + 2X\sqrt(MN) = (m/n)^2$
ovvero
$MX^2+N-(m/n)^2 = - 2X\sqrt(MN)$
che contraddice l'ipotesi perché il secondo membro è irrazionale, mentre il primo no.

[giammaria2]

Hai dimenticato di elevare al quadrato $m/n$, ma questo non modifica il concetto. La vera critica è che nelle ultime righe consideri razionali M, N; con questa ipotesi vale anche la dimostrazione che ho dato nella mia prima mail. Purtroppo questa ipotesi non c'è e l'intuito dice che non è necessaria.

[Zero87]

Capito giammaria, avevo dato per scontato che se una radice è irrazionale, il quadrato (ovvero il numero di partenza) non lo è. Per il resto, la tua soluzione l'ho giusto sbirciata per non farmi influenzare, se l'avessi guardata meglio prima di pubblicare la mia non avrei pubblicato la mia proprio perché non si discosta molto come concetto.

[giammaria2]

Ho appena scoperto che la tesi non è dimostrabile perché, in assenza di ulteriori ipotesi, può anche essere falsa; ne do un esempio.
Se $M=(2-sqrt3)^2; N=3$ tutte le ipotesi sono rispettate e la formula diventa
$A+B(2-sqrt3)+C sqrt3=0->A+2B+sqrt3(-B+C)=0$
e basta che sia $A=-2B; C=B$, senza bisogno che si annullino.
dan95, cosa ne dici?