$a! +2^b = c!$ negli interi non negativi

[Gi81]

Risolvere negli interi non negativi
\[
a! + 2^b = c!
\]

[axpgn]

Ci provo

$a=1, b=0, c=2$ e $a=2, b=2, c=3$

$2^b=c!-a! = a!*[c*(c-1)-...*(c-a+1)-1]$

L'espressione tra quadre deve essere una potenza di due ma a parte quei due casi è sempre dispari.
It isn't?

Cordialmente, Alex

[Gi81]

$c!-a! = a!*[c*(c-1)-...*(c-a+1)-1] $
Non è detto che ciò che sta dentro le parentesi quadre sia sempre dispari
Ad esempio prendiamo $a=4$ e $c=5$. Si ha $5! - 4! = 4! *[5-1]= 4!*4$

[axpgn]

Ok, però ...

È pari solo quando $a$ e $c$ sono consecutivi e $c$ è dispari.
In tal caso l'espressione tra le quadre può essere una potenza di due ma lo deve essere anche $a!$ e a parte quei due casi non ce ne sono altri. Isn't it?

Cordialmente, Alex

[Gi81]

In realtà ce ne sono anche altri