9999999... diviso $n$

[Zero87]

Non so che titolo dare, fa un po' pena ma rende l'idea.

Introduco una notazione
$9_k \equiv "numero composto solo da "k" cifre uguali a 9"$
in pratica $9_3=999$, $9_6=999999$, $9_4=9999$, ecc...

Allora, vogliamo dimostrare che per ogni primo $p>5$ esiste (almeno) un indice intero $k$ tale che $(9_k)/p$ è intero.
Di questo ho una dimostrazione un po' chiacchierosa ma credo efficace e lancio un hint della mia idea per chi ha curiosità nel vedere che mi passa per la testa, ancora non la posto (minimo è sbagliata!)

C'è un numeretto interessante che è $142857$ e vale $999999/7=142857$... se qualcuno ha visto questo numero, magari non da intero, sa anche qual è la mia idea.

forse l'hint è anche troppo...

Il rilancio è il seguente, ma non so se per questo vale la stessa idea.
Dimostrare che quanto detto sopra vale per ogni numero intero positivo $n>5$.

PS. per il numero 3 vale comunque dato che $9/3=3$ (che è intero), per il 2 e il 5 no in generale, il $p>5$ è per dare interesse alla cosa.

[E-3131]

I numeri $ 9_k $ possono essre scritti come $ 10^k -1 $; Per il piccolo teorema di Fermat se $ p $ e $ a $ coprimi , si ha $ a^(p-1)-= 1 (modp) $ adesso $ a=10 $ , e natualmente tutti i primi $ p>5 $ sono coprimi con $ 10 $ quindi si ha $ 10^(p-1)-= 1 (modp) $ , perciò i numeri $ 9_k $ divisibili per p sono quelli con $ k=p-1 $ . Il tuo hint mi ha portato a questo. Non so se è giusto, ma tentar non nuoce.

[axpgn]

Semi OT

In inglese i numeri composti solamente da "uni" si chiamano REPUNIT (repeated unit) perciò i tuoi si chiameranno REPNINE ...

Comunque, se vai su wiki (meglio ancora sul web ...) trovi cose interessanti sui repunit e chissà magari anche sui repnine ...

Cordialmente, Alex

[Zero87]

In realtà la mia dimostrazione usa un pensiero laterale, accessibile anche dalle secondarie. Spoilerizzo.

Lo dico in vari punti susseguenti.

1. Ogni numero in $\QQ$ è:
- intero;
- decimale limitato;
- decimale illimitato periodico.

2. Tralasciando i primi 2 casi, il secondo si ha con multipli di 2, 5 o entrambi (ma non altro) al denominatore, abbiamo
$1/p=0,0...0\bar(q)$
dove $q$ è il periodo e l'antiperiodo non c'è essendo $p$ primo.

3. Un risultato delle medie, cioè il trovare la frazione generatrice di un numero periodico
$\frac{q}{9_k}=0,0...0\bar(q)=1/p$
dunque $(9_k)/q=p$, rivoltando la frazione, che è quanto volevamo dimostrare.

Per quanto riguarda il rilancio, ricordo che l'antiperiodo si creava quando il numero per cui si divide, contiene potenze del 2 e del 5 ma non ricordo se è un risultato affermato, una sensazione o un sentito dire, per questo non so se la dimostrazione vale ancora.

La dimostrazione con il teorema di Fermat è forte e, complice l'ora, non mi sembra ci siano errori. Anzi, vale anche per il caso più ampio dell'originale.

[Erasmus_First]

Ma che ce ne facciamo dei 9?
Dato un numero primo p > 5, un numero di p–1 cifre decimali tutte uguale a 1 è senz'altro divisibile per p.
[Molto più spesso basta un numero m di cifre molto minore, con m sempre divisore di p – 1].
A proposito, quanti "1" occorrono per avere il più basso multiplo di 67 (fatto da tutti 1)?
––
Erasmus