$8640$

[axpgn]

Mostrare che per ogni valore intero di $x$, la seguente espressione $x^9-6x^7+9x^5-4x^3$ è divisibile per $8640$



Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

$8640=2^6*3^3*5$

$n=x^9-6x^7+9x^5-4x^3=(x-2)(x-1)^2x^3(x+1)^2(x+2)$

$n$ quindi, tralasciando per il momento gli esponenti, è dato dal prodotto di $5$ numeri consecutivi di media $x$.

Se $-2<=x<=2$, allora $n=0$, che è divisibile per ogni numero.

In caso contrario, ossia $|x|>2$, bisogna dimostrare che $n$ è divisibile per i fattori primi di $8640$.
Dal momento che una sequenza di $5$ numeri consecutivi contiene sicuramente un multiplo di $5$, si deduce che $n$ è divisibile per $5$.
Considerando come possono essere disposti i multipli di $2$, $3$ e $4$ in una sequenza di $5$ numeri consecutivi, si ottengono i seguenti possibili casi:



Si evince quindi che $n$ è divisibile sia per $3^3$ che per $2^6$.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Bello

Il polinomio \(p(x)\) in questione si scompone in fattori irriducibili nel seguente modo
\[p(x)= (x-2)(x-1)^2x^3(x+1)^2(x+2) \]
Mentre
\[ 8640=\cdot 2^6\cdot3^3\cdot 5 \]
È chiaro che per ogni intero \( n \), \(5 \mid p(n) \).

Dimostriamo che \(3^3 \mid p(n) \) per ogni intero \(n\).
- Se \(3 \mid n \) abbiamo \( 3^3 \mid n^3 \).
- Invece se \( n \equiv 1 \mod 3 \) allora abbiamo che \(3 \mid (n+2) \) e \( 3 \mid (n-1) \) pertanto \(3^3 \mid (n+2)(n-1)^2 \).
- Allo stesso modo se \( n \equiv 2 \mod 3 \) allora \( 3 \mid (n-2) \) e \( 3 \mid (n+1) \) dunque \( 3^3 \mid (n-2)(n+1)^2 \).

Dimostriamo che \(2^6 \mid p(n) \) per ogni intero \(n \).
- Se \( 2 \mid n \) allora abbiamo due possibilità:
- \( n \equiv 0 \mod 4 \) in tal caso \( 2^2 \mid n \) e dunque \( 2^6 \mid n^3 \)
- altrimenti se \( n \equiv 2 \mod 4 \) allora abbiamo che \( 2^2 \not\mid n \) però \( 2^2 \mid (n+2) \) e \( 2^2 \mid ( n-2) \) pertanto \( 2^6 \mid (n-2)(n+2)n^3 \).
- Se \( 2 \not\mid n \) allora \( (n+1) \equiv 0 \mod 4 \) e \( (n-1) \equiv 2 \mod 4 \) o viceversa e pertanto \(2^6 \mid (n+1)^2(n-1)^2 \)

Pertanto siccome \( \operatorname{gcd}(5,3^3) =1 \) e risulta che \( 5 \mid p(n) \) e \( 3^3 \mid p(n) \) allora abbiamo che \( 3^3 \cdot 5 \mid p(n) \). Inoltre poiché \( \operatorname{gcd}(5\cdot 3^3, 2^6 ) =1 \) e risulta che \( 3^3 \cdot 5 \mid p(n) \) e \( 2^6 \mid p(n) \) allora abbiamo che \[ 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 = 8640 \mid p(n) \]
Che è il risultato desiderato.

[axpgn]

Bravi!

Ecco una terza soluzione ...

Possiamo scomporre $x^9-6x^7+9x^5-4x^3$ così $[(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)][(x-1)x][x(x+1)]$ dal quale si evince che il primo fattore è il prodotto di cinque interi consecutivi e quindi l'espressione è divisibile per $5$.

Oppure possiamo scomporla così $[(x-2)(x-1)x][(x-1)x(x+1)][x(x+1)(x+2)]$ dove si vede che ognuno dei tre fattori è il prodotto di tre interi consecutivi e quindi l'espressione è divisibile per $3^3$

Oppure scomporla così $[(x-2)(x-1)x(x+1)][(x-1)x(x+1)(x+2)]x$ in cui ognuno dei primi due fattori è il prodotto di quattro interi consecutivi per cui ogni fattore è divisibile per $2^3$ e l'espressione è quindi divisibile per $2^6$

Cordialmente, Alex