$641 | F_5$
Definizione Per $n \in NN$ si chiama n-esimo numero di Fermat il numero $F_n := 2^{2^n} +1$.
Dimostrare che $641 | F_5$.
Dimostrare che $641 | F_5$.
Risposte
Hint:
ipotizzo(senza hint non ci sarei mai arrivato) che:
$F_5 = (5*2^7 + 1)(x*2^7 + 1)$
Evidentemente se trovo x intero allora ho dimostrato la tesi.
Svolgendo i calcoli ottengo:
$(5*2^7 + 1)(x*2^7 + 1) = 2^32 +1$
$5*2^7*x*2^7 + x*2^7+5*2^7 +1 = 2^32 +1$
$641x * 2^7 + 5*2^7 = 2^32$
$641x +5=2^25$
Ora dimostro che $641 | 2^25 -5 $
Ipotizzo che:
$2^25 -5 = (5*2^7 +1 )(y*2^7 -5)$
$641y - 25 = 2^18$
Dimostro che $641 | 2^18 + 25$
Ipotizzo che:
$2^18 + 25 = (5*2^7 + 1)(z*2^7 + 25)$
$641z + 125 = 2^11$
$z = 3$
Q.E.D.
$F_5 = (5*2^7 + 1)(x*2^7 + 1)$
Evidentemente se trovo x intero allora ho dimostrato la tesi.
Svolgendo i calcoli ottengo:
$(5*2^7 + 1)(x*2^7 + 1) = 2^32 +1$
$5*2^7*x*2^7 + x*2^7+5*2^7 +1 = 2^32 +1$
$641x * 2^7 + 5*2^7 = 2^32$
$641x +5=2^25$
Ora dimostro che $641 | 2^25 -5 $
Ipotizzo che:
$2^25 -5 = (5*2^7 +1 )(y*2^7 -5)$
$641y - 25 = 2^18$
Dimostro che $641 | 2^18 + 25$
Ipotizzo che:
$2^18 + 25 = (5*2^7 + 1)(z*2^7 + 25)$
$641z + 125 = 2^11$
$z = 3$
Q.E.D.
Troppi conti... Ragiona in maniera efficiente.
Fermat credeva che i suoi Fn = 2^(2^n) + 1 fossero tutti primi.
Un secolo dopo Eulero scoprì che F5, cioè 2^32+1 = 4294967297, non è primo perchè è divisibile per il numero primo 641.
[Eulero ha usato il "Crivello d Eratostene" costruendosi un elenco di numeri primi sufficientemente lungo.
Provando a dividere 4294967297 per successivi numeri primi, arrivato a 641 ha scoperto che
4294967297 : 641 = 6700417 con reso zero.
Il bello è che modernamente, spingendosi col computer fin dove è possibile, non si sono trovati Fn primi maggori d F4 = 65537.
Si congettura, dunque, che i soli "primi di Fermat" siano:
3, 5, 17, 257, 65537 ].
----------
Ma che senso ha 'sto qiz?
La dimostrazione più semplice è fare la divisione!
Ripassiamo la divisione come ce l'ha insegnata la maestra!
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Un secolo dopo Eulero scoprì che F5, cioè 2^32+1 = 4294967297, non è primo perchè è divisibile per il numero primo 641.
[Eulero ha usato il "Crivello d Eratostene" costruendosi un elenco di numeri primi sufficientemente lungo.
Provando a dividere 4294967297 per successivi numeri primi, arrivato a 641 ha scoperto che
4294967297 : 641 = 6700417 con reso zero.
Il bello è che modernamente, spingendosi col computer fin dove è possibile, non si sono trovati Fn primi maggori d F4 = 65537.
Si congettura, dunque, che i soli "primi di Fermat" siano:
3, 5, 17, 257, 65537 ].
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Ma che senso ha 'sto qiz?
La dimostrazione più semplice è fare la divisione!
Ripassiamo la divisione come ce l'ha insegnata la maestra!
4294 967297 : 641 = 6700417
448 9
00 26
267
2672
1089
4487
000_______
"Erasmus_First":
Ma che senso ha 'sto qiz?
Il senso che deve avere...
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