$4$ operazioni sono troppe

[axpgn]

Direttamente in Inglese:

Derive the operations $+, -, xx, -: $ from $-$ and reciprocal.


Ossia si tratta di costruire le 4 operazioni usando solo la sottrazione e i reciproci (beh, lo zero è sempre zero e di parentesi quante ne volete )


Cordialmente, Alex

[axpgn]

No, perché ...

... tu stai usando "la linea di frazione" come operatore di divisione (in pratica definisci la moltiplicazione usando la divisione che non è ancora stata definita; la divisione "non esiste" nel senso che per dividere due numeri devi moltiplicare il primo per il reciproco del secondo).
Ovvero sopra la linea di frazione (al numeratore) ci deve stare sempre e solo il numero $1$.
Spero di essermi spiegato

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

[axpgn]

Ecco la moltiplicazione ...

Il punto di partenza è questa identità:

$1/(x(1-x))=1/(1-x)+1/x$ che possiamo riscrivere come $1/(x-x^2)=1/(1-x)-1/(0-x)=1/(1-1/(1/x))-1/(0-1/(1/x))$.
Quest'ultima versione ci fornisce $1/(x-x^2)$ in termini di sottrazione e reciproci.
Con alcuni passaggi passiamo a [size=150]$x-x^2 -> 1/[1/(1-1/(1/x))-1/(0-1/(1/x))]$[/size] per arrivare a [size=150]$x^2 -> 0-[1/[1/(1-1/(1/x))-1/(0-1/(1/x))]]-(0-1/(1/x))$[/size]

Ovvero abbiamo la rappresentazione del quadrato di un numero nel nuovo sistema.
Quindi ora sappiamo come rappresentare (e soprattutto che è possibile farlo) questa espressione $(x-y)^2-x^2-y^2$.
Ma dato che $(x-y)^2-x^2-y^2 = -2xy$, per arrivare infine alla moltiplicazione ($xy$) non dobbiamo fare altro che dividere per $-2$
Ci sono vari modi per farlo, tra cui questo: poniamo, per comodità, $w=(x-y)^2-x^2-y^2$
Allora $w/(-2)=1/((-2)/w)=1/((0-1/w)-1/w)$.

Fatto!

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

-> Alex

[size=150]$x^2 -> 0-[1/[1/(1-1/(1/x))-1/(0-1/(1/x))]]-(0-1/(1/x))$

$x^2 -> 0-[1/[1/(?-1/(1/x))-1/(0-1/(1/x))]]-(0-1/(1/x))$
[/size]

Ok, pero', ... ho copiato una formula e poi l'ho copiata ancora sostituendo un '1' con un '?'
Vorrei sapere come si giustifica quell' 1, siccome mi sembra che violi le regole di partenza, che prevedono solo il reciproco, la sottrazione, le parentesi e lo zero.

Inoltre, vorrei vedere una espressione esplicita per la moltiplicazione, ovvero $xy = ?$,
perche' non capisco come si passi da $x^2 = ...$ che e' chiaro, a $xy = ...$.

Grazie

[axpgn]

Vorresti dirmi che non conosci il reciproco di $1$?
Ok, ad essere rigorosi avrei dovuto scrivere $1/1$ ma penso che possiamo semplificare, no?

"Quinzio":Inoltre, vorrei vedere una espressione esplicita per la moltiplicazione, ovvero $ xy = ?$

Mi vuoi morto

Ci provo, vediamo se riesco a scriverla (o a farcela stare) ...

$ x^2 -> 0-[1/[1/(1-1/(1/x))-1/(0-1/(1/x))]]-(0-1/(1/x)) $

$ y^2 -> 0-[1/[1/(1-1/(1/y))-1/(0-1/(1/y))]]-(0-1/(1/y)) $

$ (x-y)^2 -> 0-[1/[1/(1-(1/(1/x)-1/(1/y)))-1/(0-(1/(1/x)-1/(1/y)))]]-(0-(1/(1/x)-1/(1/y))) $



$ w=(x-y)^2-x^2-y^2 $

$ w=[0-[1/[1/(1-(1/(1/x)-1/(1/y)))-1/(0-(1/(1/x)-1/(1/y)))]]-(0-(1/(1/x)-1/(1/y))) ]-[0-(1/[1/(1-1/(1/x))-1/(0-1/(1/x))))-(0-1/(1/x))]-[0-(1/[1/(1-1/(1/y))-1/(0-1/(1/y))))-(0-1/(1/y))] $

Siccome $xy=w/(-2)=1/((0-1/w)-1/w)$, prendi la rappresentazione di $w$ che ho scritto e sostituisci.
Io non lo faccio

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

ok, per la seconda parte ci siamo.
Una volta definito $x^2$ si riesce a definire $xy$.

La parte secondo me che e' un po' dubbia rimane il reciproco di 1.
Da come l'avevo capita, la cifra 1 non si poteva usare.
Senza voler essere troppo inquisitorio, riprendo l'enunciato iniziale:

Derive the operations +,−,×,÷ from − and reciprocal.
Ossia si tratta di costruire le 4 operazioni usando solo la sottrazione e i reciproci (beh, lo zero è sempre zero e di parentesi quante ne volete )

Non si vede traccia dell'1.

E' vero che il reciproco implica nella scrittura l'uso della cifra 1, ma e' da intendersi solo come reciproco.
In questo senso, '1' non e' una cifra.
Mi spiego meglio.

Ovvero il set di simboli che si possono usare sono:
$S = {0, a_1, a_2, a_3, ...}$, ovvero lo zero e un insieme infinito di variabili.

Le operazioni consentite sono:
$D(s_1-s_2), s_k \in S$: la sottrazione (D per differenza) tra due simboli
$R(s), s \inS \\ 0$: il reciproco di un simbolo, zero escluso.

Messo in questo modo appare evidente come la cifra 1 non si puo' usare.

Ad esempio $x -> 1/(1/x)$ verrebbe scritto come $x = R(R(x))$, dove non compare l'1.


In questo modo sarebbe impossibile scrivere $x^2 = ...$ perche' non si sa come generare l'1,
non essendo possibile scrivere $R(1)$.

Comunque sia, includendo l'1 nei simboli utilizzabili, tutto torna.
Bell'esercizio.

PS. Detto tra parentesi, lo zero non sarebbe neanche strettamente necessario, essendo $0 = (s-s)$.

[axpgn]

Non capisco il tuo dubbio ...

Come detto più volte possiamo avere solo numeri rappresentati così $1/?$ quindi se $?=1$ allora $1/?=1/1$
Certamente volendo essere rigorosi avrei dovuto scrivere $1/1$ invece di $1$ ma mi pare un peccato veniale

Tieni conto che la scrittura $1/$ è da intendersi come se fosse il simbolo di un'operazione "perdendo", in un certo senso, il loro valore "intrinseco" di "numero" (l'1) e di "divisione" (la linea di frazione).
Non so se mi sono spiegato ...

Carina la rappresentazione dello zero

Cordialmente, Alex