$3| abc$

[dan952]

Siano $a,b,c$ interi tali che $a^3+b^3=c^3$, dimostrare che $3|abc$.

Nota: Senza usare l'ultimo teorema di Fermat.

[Gi81]

Lemma: Per ogni \(\displaystyle x \in \mathbb{Z}\) si ha \(\displaystyle x^3 \in \{-1,0,1\} \mod 9\). Inoltre \(\displaystyle x^3 \equiv 0 \mod 9 \) se e solo se \(\displaystyle 3 \mid x \).
(per dimostrarlo è sufficiente scorrersi le nove classi di resto e verificare).

Siano ora \(\displaystyle a,b,c \in \mathbb{Z}\) tali che \(\displaystyle a^3 +b^3 = c^3\). Vogliamo dimostrare che \(\displaystyle 3 \mid abc\).
DIstinguo due casi: \(\displaystyle 3 \mid ab \) e \(3 \nmid ab \).

1) \(\displaystyle 3 \mid ab \implies 3 \mid abc\), fine.

2) \(\displaystyle 3 \nmid ab \implies\) per il lemma si ha \( \displaystyle a^3 + b^3 \in \{ -2 , 0, 2 \} \mod 9\).
Dunque \( \displaystyle c^3 \in \{ -2 , 0, 2 \} \mod 9\), da cui, sempre per il lemma, si ha \(\displaystyle 3 \mid c \), da cui \(\displaystyle 3 \mid abc \), fine.

[dan952]

Ottimo

[Gi81]

In realtà ho un po' barato: anni fa avevo proposto un esercizio molto simile: viewtopic.php?f=26&t=107543

[dan952]

Sì pure io avevo in mente di generalizzare per ogni primo $p$ ma non credo che si possa fare in modo elementare.

Utopia: se si dimostra che per ogni $n$ naturale e $p$ primo dispari vale $p^n|abc$ allora si dimostra l'ultimo teorema di Fermat perché $abc$ deve essere necessariamente nullo.