$2^(n^3+1)-3^(n^2+1)+5^(n+1)$
Dimostrare che esistono infiniti numeri primi che dividono almeno un intero della forma $2^(n^3+1)-3^(n^2+1)+5^(n+1)$ con $n$ intero positivo
Risposte
Hint:
Per assurdo
Per assurdo
"dan95":Cosa chiede il quesito non mi pare chiaro!
Dimostrare che esistono infiniti numeri primi che dividono almeno un intero della forma $2^(n^3+1)-3^(n^2+1)+5^(n+1)$ con $n$ intero positivo
Non sono sicuro di cosa intendi con le parole
«infiniti numeri primi che dividono almeno un intero della forma $2^(n^3+1)-3^(n^2+1)+5^(n+1)$».
Intendi forse dire:
«infiniti numeri primi CIASCUNO DEI QUALI divide almeno uno degli interii della forma $2^(n^3+1)-3^(n^2+1)+5^(n+1)$» ?
Ossia, dimostrare che ci sono infiniti distinti interi della forma $2^(n^3+1)-3^(n^2+1)+5^(n+1)$ che o sono primi o sono divisiblii per qualche primo che non è divisore di alcun altro intero di quella forma.
Ho capito giusto?
In tal caso basterebbe dimostrare che, al variare di n intero da 2 compreso in su, gli interi di quella forma sono tutti distinti.
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Il testo è stato copiato pari pari dall'originale (gare Cesenatico 2010). Dimostrare che esistono infiniti numeri primi con la proprietà di dividere almeno uno degli interi di quella forma...cioè dimostrare che l'insieme $P={p\ \text{primo}\ |\ p| 2^{n^3+1}-3^{n^2+1}+5^{n+1} \text{per qualche}\ n \in NN}$ è infinito
@Erasmus
Il testo mi sembra chiaro.
Comunque
chi mi dice che se sono tutti distinti, non ognuno il prodotto di un insieme finito di primi?
Il testo mi sembra chiaro.
Comunque
chi mi dice che se sono tutti distinti, non ognuno il prodotto di un insieme finito di primi?
Non ho capito...
"kobeilprofeta":Come dan95, nemmeno io ho capito!
@Erasmus
[...]
Comunque
chi mi dice che se sono tutti distinti, non ognuno il prodotto di un insieme finito di primi?
"dan95":Non lo metto in dubbio! Ma ciò non garantisce che il testo non sia equivocabile.
Il testo è stato copiato pari pari dall'originale [...]
Alla prima lettura ... ho avuto l'impressione che si chiedesse di dimostrare una cosa assurda!
Prova a rileggere come se fosse la prima volta che incontri questo testo ... dimenticando che lo conosci già (e che l'hai postato tu!).
[size=120]«Dimostrare che esistono infiniti numeri primi che dividono almeno un intero della forma $ 2^(n^3+1)-3^(n^2+1)+5^(n+1) $»[/size].
Il soggetto è un plurale, il predicato verbale (giustamente in terza persona plurale) è transitivo e il complemento oggetto è singolare!
Alla prima lettura uno può CORRETTAMENTE capire che si chiede di dimostrare che esistono infiniti (distinti) numeri primi TUTTI divisori di almeno un [medesimo] intero di quella forma.
Ovviamente, nessun intero può avere infiniti fattori distinti, per cui ... ho scartato subito questa mia prima interpretazione del quesito.
Però, mi parrebbe DOVEROSA (per rendere la frase inequivocabile), quella mia aggiunta che sfocia nel singolare "divide" in sostituzione del plurale "dividono".
La riscrivo:
[size=120]« [...] esistono infiniti numeri primi CIASCUNO DEI QUALI divide almeno un intero della forma $2^(n^3+1)-3^(n^2+1)+5^(n+1) $»[/size]
Se ci sono infiniti distinti [ognuno da ogni altro] interi di quella forma, due di essi ... o sono uno multiplo dell'altro oppure hanno un massimo comunde divisore minore di entrambi. Comunque, uno dei due ha almeno un fattore primo che l'altro non ha.
E questa situazione si ripresenta ad ogni coppia distinta, cioè infinite volte ciascuna distinta da ogni altra.
Il presupposto indispensabile (ma sufficiente) è che di quella forma ci siano infiniti interi ognuno dei quali non solo è diverso da ogni altro ma non è nemmeno divisore di ogni altro.
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Sinceramente pure io alla prima lettura avevo capito che bisognava dimostrare quell'assurdità poi ho cercato di darne un interpretazione intuitiva e più sensata...
@Erasmus
Se sono uno multiplo dell'altro non necessariamente questo avviene perché c'è un primo che divide uno e non l'altro, infatti nella scomposizione del più grande ci possono essere gli stessi primi del suo divisore ma con potenze più alte.
Se sono uno multiplo dell'altro non necessariamente questo avviene perché c'è un primo che divide uno e non l'altro, infatti nella scomposizione del più grande ci possono essere gli stessi primi del suo divisore ma con potenze più alte.
"dan95":E' vero!
@Erasmus
Se sono uno multiplo dell'altro non necessariamente questo avviene perché c'è un primo che divide uno e non l'altro, infatti nella scomposizione del più grande ci possono essere gli stessi primi del suo divisore ma con potenze più alte.
Vedi che ho modificato [nel finale del testo] escludendo proprio questo che dici [ossia che i numeri di quella forma si possano mettere in una successione tale che un termine sia multiplo di tutti i precedenti.
Oltre a essere diventato lentissimo, ho dovuto interromoere ... per motivi familiari. E intanto tu sei intervenuto prima che io inviassi la modifica].
Occhio: io non ho dimostrato la tesi!
Ho solo indicato qualcosa che, se venisse verificato, sarebbe sufficiente a provare quanto richiesto.
[Chiedo scusa se ... ho un po' turbato l'ambiente (e senza concludere). Come diceva Manzoni ... «non s'è fatto apposta!»]
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Manco come hai modificato è vero in generale. Esempio: $2^3\cdot 5^4$ e $2^4 \cdot 5^2$ il massimo comune divisore è minore di entrambi e non sono l'uno multiplo dell'altro...tuttavia hanno gli stessi primi nella scomposizione
Hint: usare Fermat scegliendo opportunamente $n$ in modo che...
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