2.459.632.597.435.714.923.821 è un cubo perfetto?

[Il Pitagorico]

un mio amico ha detto che si può dimostrare facilmente che 2.459.632.597.435.714.923.821 è un cubo perfetto (mi ha anche detto che lo ha visto sulla settimana enigmistica), come si può fare in modo semplice?

[Luca114]

"giammaria":Effettivamente è la stessa cosa, ma il cuore della dimostrazione è proprio dimostrarlo. All'università si approfondisce bene l'argomento, ma provo a dartene una dimostrazione semplice; le lettere indicano numeri naturali.
- Il primo punto è: se ad un numero $x$ si somma (o sottrae) un multiplo di 9, il resto della divisione $x:9$ non cambia. Dimostrazione: per definizione, se $x=9q+r$ e se $r<9$, diciamo che $q$ è il quoziente ed $r$ il resto. Sommiamo il multiplo di 9:
$x+9k=9q+r+9k=9(q+k)+r$
e, stante la precedente definizione, il resto è sempre $r$.
- Usiamo ora questo, pensando ad esempio ad un numero $x$ formato dalle quattro cifre $a,b,c,d$:
$x=1000a+100b+10c+d=999a+a+99b+b+9c+c+d=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$
Il multiplo di 9 non cambia il resto, quindi $x:9$ dà lo stesso resto di $"(somma delle sue cifre)":9$. Se questa somma avesse ancora più cifre, applichiamo il ragionamento un'altra volta, fino ad arrivare alla radice digitale, cioè al resto della divisione.
Se otteniamo un numero minore di 9 ci siamo, mentre se otteniamo proprio 9, aggiungiamo il seguente ragionamento: $9:9$ dà resto zero, quindi scrivo zero.

Dimostrazione chiarissima, ora l'ho capita