2.459.632.597.435.714.923.821 è un cubo perfetto?
un mio amico ha detto che si può dimostrare facilmente che 2.459.632.597.435.714.923.821 è un cubo perfetto (mi ha anche detto che lo ha visto sulla settimana enigmistica), come si può fare in modo semplice?
Risposte
@lucaM. Ti do una guida per il ragionamento: se non hai buone idee, comincia con i tentativi, calcolando quanto dà la prova del 9 di $0^3, 1^3, 2^3, ...$: noti che ottieni solo i numeri $0,1,8$ e vedi che si ripetono con regolarità, ogni tre cubi. L'attenzione è quindi attratta sul numero $3$ e quando ti chiedi cosa hanno in comune, ad esempio, $2,5,8,11,...$ (che tutti danno 8 nella prova del 9 sui loro cubi) ti viene spontaneo dire che dividendoli per $3$ danno lo stesso resto. Hai ora un buon punto di partenza.
Ho visto che state facendo dimostrazioni con la prova del nove. Provate a rispondermi qua.
Chiedo una dimostrazione generale
Chiedo una dimostrazione generale
Propongo un altro problema: senza tentare di estrarne la radice, dimostrare che $2.379.207.124$ non è un cubo perfetto.
Questa volta la radice digitale è $1$, quindi il criterio precedente non lo esclude; occorre un ragionamento di altro tipo.
Forza ragazzi, è facile.
Questa volta la radice digitale è $1$, quindi il criterio precedente non lo esclude; occorre un ragionamento di altro tipo.
Forza ragazzi, è facile.
Ammetto che questo è più difficile, non sembra che si possa usare nessun metodo riguardante le cifre iniziali o finali... Sono riuscito a trovare un modo, ma se è davvero quello che bisogna non è poi così "facile" da applicare (non è stimare la radice cubica). Magari invece c'è davvero qualche modo semplicissimo che non conosco... ♩_♩
Pensaci ancora un po'; in qualche modo la cifra finale c'entra. I calcoli necessari sono più o meno della stessa lunghezza dell'altro.
Non sono sicuro di avere capito, però un altro modo l'ho trovato ed è effettivamente molto più semplice... Ha a che fare con la parità delle ultime cifre?
Anch'io ho trovato qualcosa.. c'entra la divisibilità per 8?
Sì ad entrambi. Bravi!
Bravi? Dal latino pravus, cioè malvagio! Non era così difficile, mi sono lasciato influenzare troppo da metodi difficili che non si fanno neanche alle superiori che portano a calcoli assurdi, invece riguardava la semplice scomposizione in fattori primi... Che stolido! 
[xdom="giammaria"]Uso il cartellino giallo per richiamare l'attenzione di tutti gli studenti.
Come vedete, per l'ultima domanda ci sono stati cenni di soluzione ma non la soluzione completa; evidentemente è stato fatto per lasciare ad altri l'onore di rispondere. Non aspettate e rivendicatelo per voi, completando.
Ci sono anche altri thread con situazioni analoghe; vi conviene cogliere l'occasione di una bella figura.[/xdom]
Come vedete, per l'ultima domanda ci sono stati cenni di soluzione ma non la soluzione completa; evidentemente è stato fatto per lasciare ad altri l'onore di rispondere. Non aspettate e rivendicatelo per voi, completando.
Ci sono anche altri thread con situazioni analoghe; vi conviene cogliere l'occasione di una bella figura.[/xdom]
Allora metto la mia soluzione..
$n^3=2.379.207.124$
Bisogna dimostrare che $n$ non può essere intero..
Ipotizziamo per assurdo che $n$ sia intero. Dovrebbe essere pari, dato che il suo cubo è pari. Quindi nella sua fattorizzazione dovrebbe comparire almeno un fattore 2. Ma questo fattore 2 elevato alla terza dà 8, quindi il cubo deve per forza essere divisibile per 8. Ma il numero dato sopra non lo è (basta vedere che non lo è il numero formato dalle sue ultime 3 cifre). Dunque non può esistere un n intero, quindi il numero non è un cubo perfetto.
$n^3=2.379.207.124$
Bisogna dimostrare che $n$ non può essere intero..
Ipotizziamo per assurdo che $n$ sia intero. Dovrebbe essere pari, dato che il suo cubo è pari. Quindi nella sua fattorizzazione dovrebbe comparire almeno un fattore 2. Ma questo fattore 2 elevato alla terza dà 8, quindi il cubo deve per forza essere divisibile per 8. Ma il numero dato sopra non lo è (basta vedere che non lo è il numero formato dalle sue ultime 3 cifre). Dunque non può esistere un n intero, quindi il numero non è un cubo perfetto.
Un numero pari puó essere una n-esima potenza solo se è divisibile per $2^n$
L'ho sparata, ma credo che sia giusto, conferme??
L'ho sparata, ma credo che sia giusto, conferme??
Giusto... Riesci a trovare un criterio di divisibilità per $2^n$? (domanda facile facile...)
Se sono divisibili per $2^n$ le ultime $n$ cifre
scusate se non rispondo al mio stesso argomento ma ho molto da fare in questi giorni per vari progetti scolastici, comunque non sono pratico in questo tipo di dimostrazioni, non ho capito bene alcune cose ed ho perso qualche passaggio. Se qualcuno scrivesse un riassunto abbastanza chiaro dell'argomento mi farebbe un grandissimo piacere.
Grazie molte a tutti voi!
Grazie molte a tutti voi!
Ci provo io:
Se scrivi i quadrati dei numeri e ne calcoli la prova del nove(somma continua), ti accorgi che seguono questa sequenza:
1-4-9-7-7-9-4-1 9 1-4-9-7-7-9-4-1 9
Allo stesso modo i cubi seguono
1-8-9-1-8-9-1-8-9-1-8-9
Quindi prendendo un numero, anche molto grande e facendone la prova del nove si puó sapere se non è un quadrato/cubo (attento! Puoi sapere se non lo è ma non puoi avere la certezza che lo sia), infatti se la prova del nove dà 8 sappiamo che non è un quadrato, se 5 non è nè cubo nè quadrato e se è 1 non posso sapere nulla.
È stato proposto un'altro problema: è stato dato un numero pari ed è stato detto di provare che non è un cubo perfetto.
Non è complesso ti faccio due esempi:
1) dire se 122 è un quadrato perfetto
So che la radice deve essere anchessa pari, quindi nella forma $2n$, in questo modo il quadrato dev essere $(2n)^2=4n^2$, quindi un numero divisibile per 4, ma guardando le ultime due cifre di 122, cioè 22 ci si accorge che non è divisibili per 4.
2) allo stesso modo ti chiedo se un numero pari è un cubo.
La radice è al solito $2n$, il cubo quindi $(2n)^3=8n^3$ e quindi multiplo di 8. Guardo le ultime tre cifre e controllo che sia effettivamente un multiplo di 8.
Se scrivi i quadrati dei numeri e ne calcoli la prova del nove(somma continua), ti accorgi che seguono questa sequenza:
1-4-9-7-7-9-4-1 9 1-4-9-7-7-9-4-1 9
Allo stesso modo i cubi seguono
1-8-9-1-8-9-1-8-9-1-8-9
Quindi prendendo un numero, anche molto grande e facendone la prova del nove si puó sapere se non è un quadrato/cubo (attento! Puoi sapere se non lo è ma non puoi avere la certezza che lo sia), infatti se la prova del nove dà 8 sappiamo che non è un quadrato, se 5 non è nè cubo nè quadrato e se è 1 non posso sapere nulla.
È stato proposto un'altro problema: è stato dato un numero pari ed è stato detto di provare che non è un cubo perfetto.
Non è complesso ti faccio due esempi:
1) dire se 122 è un quadrato perfetto
So che la radice deve essere anchessa pari, quindi nella forma $2n$, in questo modo il quadrato dev essere $(2n)^2=4n^2$, quindi un numero divisibile per 4, ma guardando le ultime due cifre di 122, cioè 22 ci si accorge che non è divisibili per 4.
2) allo stesso modo ti chiedo se un numero pari è un cubo.
La radice è al solito $2n$, il cubo quindi $(2n)^3=8n^3$ e quindi multiplo di 8. Guardo le ultime tre cifre e controllo che sia effettivamente un multiplo di 8.
Sollevo questa discussione perchè credo di avere trovato un altro metodo rispetto a quello di Giammaria (che tra l'altro non ho capito ) per dimostrare che il resto della divisione per nove di un numero è uguale alla radice digitale di tale numero.
Potete dirmi se potrebbe essere accettabile? Grazie
Allora, il resto di un qualsiasi numero diviso per nove è dato da:
$r=n-9q$
Quindi, se prendiamo un numero qualsiasi (io, ad esempio l'ho preso di due cifre), si ha:
$r=10x+y-9q$
Ora, il resto di una divisione per nove può essere: $0,1,2,3,4,5,6,7,8$. Prendiamo un quoziente, ad esempio $1$, e un resto, $3$, e inseriamoli nell'equazione. Ovviamente la dimostrazione andrebbe ripetuta con tutti i resti, ma è la stessa cosa. Si ottiene:
$x+y-9=3 -> x+y= 12 ->2+1=3=r$.
Sono un po' incerto sull'ultima parte.
) per dimostrare che il resto della divisione per nove di un numero è uguale alla radice digitale di tale numero.Potete dirmi se potrebbe essere accettabile? Grazie
Allora, il resto di un qualsiasi numero diviso per nove è dato da:
$r=n-9q$
Quindi, se prendiamo un numero qualsiasi (io, ad esempio l'ho preso di due cifre), si ha:
$r=10x+y-9q$
Ora, il resto di una divisione per nove può essere: $0,1,2,3,4,5,6,7,8$. Prendiamo un quoziente, ad esempio $1$, e un resto, $3$, e inseriamoli nell'equazione. Ovviamente la dimostrazione andrebbe ripetuta con tutti i resti, ma è la stessa cosa. Si ottiene:
$x+y-9=3 -> x+y= 12 ->2+1=3=r$.
Sono un po' incerto sull'ultima parte.
Non la trovo molto chiara, ma mi sembra accettabile.
Dimmi cosa non è chiaro, così provo a migliorarla
Forse il fatto che all'ultima riga ho messo
$x+y$ invece che $10x+y$?
credo che sia la stessa cosa, per esempio se $x$ fosse $5$ e $y$ $9$, abbiamo : $5+9=1+4=5$ e $50+9=5+9=1+4=5$....
Forse il fatto che all'ultima riga ho messo
$x+y$ invece che $10x+y$?
credo che sia la stessa cosa, per esempio se $x$ fosse $5$ e $y$ $9$, abbiamo : $5+9=1+4=5$ e $50+9=5+9=1+4=5$....
Effettivamente è la stessa cosa, ma il cuore della dimostrazione è proprio dimostrarlo. All'università si approfondisce bene l'argomento, ma provo a dartene una dimostrazione semplice; le lettere indicano numeri naturali.
- Il primo punto è: se ad un numero $x$ si somma (o sottrae) un multiplo di 9, il resto della divisione $x:9$ non cambia. Dimostrazione: per definizione, se $x=9q+r$ e se $r<9$, diciamo che $q$ è il quoziente ed $r$ il resto. Sommiamo il multiplo di 9:
$x+9k=9q+r+9k=9(q+k)+r$
e, stante la precedente definizione, il resto è sempre $r$.
- Usiamo ora questo, pensando ad esempio ad un numero $x$ formato dalle quattro cifre $a,b,c,d$:
$x=1000a+100b+10c+d=999a+a+99b+b+9c+c+d=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$
Il multiplo di 9 non cambia il resto, quindi $x:9$ dà lo stesso resto di $"(somma delle sue cifre)":9$. Se questa somma avesse ancora più cifre, applichiamo il ragionamento un'altra volta, fino ad arrivare alla radice digitale, cioè al resto della divisione.
Se otteniamo un numero minore di 9 ci siamo, mentre se otteniamo proprio 9, aggiungiamo il seguente ragionamento: $9:9$ dà resto zero, quindi scrivo zero.
- Il primo punto è: se ad un numero $x$ si somma (o sottrae) un multiplo di 9, il resto della divisione $x:9$ non cambia. Dimostrazione: per definizione, se $x=9q+r$ e se $r<9$, diciamo che $q$ è il quoziente ed $r$ il resto. Sommiamo il multiplo di 9:
$x+9k=9q+r+9k=9(q+k)+r$
e, stante la precedente definizione, il resto è sempre $r$.
- Usiamo ora questo, pensando ad esempio ad un numero $x$ formato dalle quattro cifre $a,b,c,d$:
$x=1000a+100b+10c+d=999a+a+99b+b+9c+c+d=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$
Il multiplo di 9 non cambia il resto, quindi $x:9$ dà lo stesso resto di $"(somma delle sue cifre)":9$. Se questa somma avesse ancora più cifre, applichiamo il ragionamento un'altra volta, fino ad arrivare alla radice digitale, cioè al resto della divisione.
Se otteniamo un numero minore di 9 ci siamo, mentre se otteniamo proprio 9, aggiungiamo il seguente ragionamento: $9:9$ dà resto zero, quindi scrivo zero.
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