Zero di un polinomio
Devo dimostrare che il polinomio P(x)=$x^5+x^3-2$ ha nell'intervallo [-1/2; 2] una sola radice x=1, sostitendo si dimostra che x=1 è soluzione dell'equazione, ma per dimostrare che è unica devo applicare il metodo grafico ? Grazie
Risposte
$P'(x)=5*x^4+3*x^2=x^2*(5x^2+3)$. Quindi $P'(x)>0$ per ogni $x!=0$, $P(x)$ non è mai decrescente e non può essere $=0$ in più di un punto.
Si può dimostrare senza la derivata?
Per prima cosa fai la scomposizione con Ruffini e ottieni
$(x-1)(x^4+x^3+2x^2+2x+2)=$ adesso lavoro sul secondo fattore per dimostrare che non si annulla nell'intervallo indicato
$=(x-1)[(x^4+x^3+1/4x^2)+(7/4x^2+2x+4/7)+10/7]=$
$=(x-1)[(x^2+1/2 x)^2 +(sqrt7/2 x+2/sqrt7)^2 +10/7]$ Il secondo fattore è dato dalla somma di 2 quadrati con un numero positivo, quindi non si annulla mai, quindi neppure nell'intervallo considerato.
Ci sono anche altri tipi di decomposizione del secondo fattore che sono utilizzabili nell'intervallo specifico come $(x^2+1/2x+1)^2-1/4x^2+x+1$ in cui il quadrato è sempre positivo ed è sommato ad un polinomio positivo nell'intervallo $[2(1-sqrt2), 2( 1+sqrt2)]$ che contiene quello che ti serve.
$(x-1)(x^4+x^3+2x^2+2x+2)=$ adesso lavoro sul secondo fattore per dimostrare che non si annulla nell'intervallo indicato
$=(x-1)[(x^4+x^3+1/4x^2)+(7/4x^2+2x+4/7)+10/7]=$
$=(x-1)[(x^2+1/2 x)^2 +(sqrt7/2 x+2/sqrt7)^2 +10/7]$ Il secondo fattore è dato dalla somma di 2 quadrati con un numero positivo, quindi non si annulla mai, quindi neppure nell'intervallo considerato.
Ci sono anche altri tipi di decomposizione del secondo fattore che sono utilizzabili nell'intervallo specifico come $(x^2+1/2x+1)^2-1/4x^2+x+1$ in cui il quadrato è sempre positivo ed è sommato ad un polinomio positivo nell'intervallo $[2(1-sqrt2), 2( 1+sqrt2)]$ che contiene quello che ti serve.
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