$z^6-2z^3+1=0$
Ciao, amici!
Mi sono imbattuto in questa a prima vista, avrei detto, molto semplice equazione, ma i risultati che trovo non coincidono in tutto e per tutto con quelli che mi dà il libro, che sono $1$ e $1/2(sqrt(3)+-i)$.
Data $z^6-2z^3+1=0$, per trovare z, pongo $w=z^3$ ed ottengo
$w^2-2w+1=0 iff w=(2+-sqrt(4-4))/2=1$ quindi, secondo la mia sostituzione $z^3=w$, ho che
$|z|=root(3)(|w|)=root(3)(|1|)=1$ e che $arg z=(arg w+2k\pi)/3=0+2/3k\pi$, quindi le radici complesse di w=1 mi risultano essere
$z_0=cos0+isin0=1$
$z_2=cos(2/3\pi)+isin(2/3\pi)=-1/2+sqrt(3)/2i$
$z_3=cos(4/3\pi)+isin(4/3\pi)=-1/2-sqrt(3)/2i$
Risultato che mi sembra niente affatto difficile da calcolare... Però non combacia con quello del libro...
Che cosa ne pensate?
Grazie di cuore a tutti!!!
Ciao,
Davide
Mi sono imbattuto in questa a prima vista, avrei detto, molto semplice equazione, ma i risultati che trovo non coincidono in tutto e per tutto con quelli che mi dà il libro, che sono $1$ e $1/2(sqrt(3)+-i)$.
Data $z^6-2z^3+1=0$, per trovare z, pongo $w=z^3$ ed ottengo
$w^2-2w+1=0 iff w=(2+-sqrt(4-4))/2=1$ quindi, secondo la mia sostituzione $z^3=w$, ho che
$|z|=root(3)(|w|)=root(3)(|1|)=1$ e che $arg z=(arg w+2k\pi)/3=0+2/3k\pi$, quindi le radici complesse di w=1 mi risultano essere
$z_0=cos0+isin0=1$
$z_2=cos(2/3\pi)+isin(2/3\pi)=-1/2+sqrt(3)/2i$
$z_3=cos(4/3\pi)+isin(4/3\pi)=-1/2-sqrt(3)/2i$
Risultato che mi sembra niente affatto difficile da calcolare... Però non combacia con quello del libro...
Che cosa ne pensate?
Grazie di cuore a tutti!!!
Ciao,
Davide
Risposte
Penso che le radici terze dell'unità non sono difficili da calcolare e che tu abbia ragione.
Grazie di cuore, Amelia!
Quando un libro di testo ha errori di stampa, specialmente nei risultati degli esercizi, c'è veramente da uscire di testa...
Ciao!!!
Davide
Quando un libro di testo ha errori di stampa, specialmente nei risultati degli esercizi, c'è veramente da uscire di testa...
Ciao!!!
Davide
Prego, ciao
non so se ho ben capito il tuo problema, ma certamente gli autori del libro presuppongono questi passaggi:
$z^6-2z^3+1=0$
$(z^3-1)^2=0$
$z^3-1=0$
$(z-1)*(z^2+z+1)=0$
$(z-1=0) vv (z^2+z+1)=0$
$(z=1) vv (z=(-1+-sqrt(-3))/2)$
$(z=1) vv (z=1/2*(-1+- i sqrt(3)))$
e mi pare che non è esattamente uguale a quanto riportato da te.
$z^6-2z^3+1=0$
$(z^3-1)^2=0$
$z^3-1=0$
$(z-1)*(z^2+z+1)=0$
$(z-1=0) vv (z^2+z+1)=0$
$(z=1) vv (z=(-1+-sqrt(-3))/2)$
$(z=1) vv (z=1/2*(-1+- i sqrt(3)))$
e mi pare che non è esattamente uguale a quanto riportato da te.
Ada, hai letto troppo in fretta, i tuoi risultati sono gli stessi di Davide, ottenuti in modo diverso, scritti con il raccoglimento, ma gli stessi.
Io proverei le soluzioni del libro per verificarne l'esattezza!
Già fatto, non verificano, il libro ha scambiato la parte reale con quella immaginaria.
Le soluzioni di Davide e quella di Ada, ottenute in modi diversi, sono le stesse.
Le soluzioni di Davide e quella di Ada, ottenute in modi diversi, sono le stesse.
Ok; meglio dirlo tardi che mai! 
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