Y = |x| è derivabile in [0, 10]?
Su di una slide trovo scritto che y = |x| è derivabile in [0, 10] ma non sarebbe corretto scrivere:
]0, 10]
dato che in 0 la funzione non è derivabile?
grazie
]0, 10]
dato che in 0 la funzione non è derivabile?
grazie
Risposte
Beh, da destra è derivabile e la sinistra non la stai considerando ... 
Strano... in generale le derivate si definiscono sugli aperti e non sui chiusi. Quindi io direi che è derivabile in \((0,10) \) e non in \([0,10]\).
"3m0o":
Strano... in generale le derivate si definiscono sugli aperti e non sui chiusi. Quindi io direi che è derivabile in \((0,10) \) e non in \([0,10]\).
Mi associo.
Definire la derivabilità negli estremi di un intervallo compatto come derivabilità solo da un lato rende un po' più complicato enunciare i teoremi classici del Calcolo, quindi di solito non si fa...
Perchè? Io nel mio corso di analisi 1 dico che $f : E \to \RR$ è derivabile in $x\in E$ se $x$ è di accumulazione per $E$ ed esiste finito il limite del rapporto incrementale in $x$. Non mi risulta che questo porti ad una complicazione dei teoremi del calcolo delle derivate. In più variabili è diverso e lì anche io definisco tutto sugli aperti, lì però il problema è che se sei sul bordo del dominio potresti avere direzioni lungo le quali la funzione risulta definita solo nel punto $x$.
"Luca.Lussardi":
Perchè? Io nel mio corso di analisi 1 dico che $f : E \to \RR$ è derivabile in $x\in E$ se $x$ è di accumulazione per $E$ ed esiste finito il limite del rapporto incrementale in $x$.
$E$ intervallo almeno, spero.
No, sottoinsieme di $\RR$.
a me ad analisi 1 l'avevano definito con dominio un intervallo qualsiasi.
Non serve essere su un intervallo, almeno a livello di definizione.
Scrivere [0, 10] significa prendere anche il punto 0 ed anche il punto 10 ovvero prendere un intervallo chiuso. Penso sia giusto perché è vero che in 0 ci sono 2 derivate ma è anche vero che il limite sinistro del rapporto incrementale in 0 non può essere definito in quanto l'intorno sinistro di 0 non appartiene a [0, 10]. 3m0o, anche io la pensavo come te ma entrambi sbagliavamo. Il libro scrive cose esatte, io molto meno.
"gugo82":
[quote="3m0o"]Strano... in generale le derivate si definiscono sugli aperti e non sui chiusi. Quindi io direi che è derivabile in \((0,10) \) e non in \([0,10]\).
Mi associo.
Definire la derivabilità negli estremi di un intervallo compatto come derivabilità solo da un lato rende un po' più complicato enunciare i teoremi classici del Calcolo, quindi di solito non si fa...[/quote]
Non credo, penso sia corretto scrivere [0, 10].
La risposta è che dipende! Dipende dalla definizione di derivata che hai/usi. Quindi ti domando: che definizione hai di derivata?
Ad esempio con la definizione "classica" di derivata, si ha che la derivata è definita solo su un aperto. Generalmente la derivata viene definita così:
Una funzione \(f\) definita in un intorno di \(x\) è detta derivabile in \( x\) se esiste finito il limite
\[ f'(x) := \lim_{h \underset{\neq}{\to} 0} \frac{f(x+h)-f(h)}{h} \]
Una funzione \(f\) definita in un aperto \(U\), è detta derivabile in \(U\) se è derivabile in ogni punto di \(U\).
Con questa definizione non ha senso chiedersi se \(f\) è derivabile in un punto del bordo poiché non c'è "spazio" per muoversi. Quindi con questa definizione di derivata una funzione può essere derivabile solo se considerata su un aperto.
Nel libro "Principles of Mathematical Analysis" di Walter Rudin, ad esempio da una definizione di derivata differente per cui è possibile considerare la derivata sul bordo. E lo fa appunto con la derivata destra e la derivata sinistra. Però in generale è importante sottolineare che il concetto di derivata unilaterale (one-sided-differentiability in inglese) è differente dal concetto di derivata. La derivabilità è più forte. Ad esempio la funzione che vale \(f(x)=1 \) quando \( x \geq 0 \) e \( f(x)=0 \) quando \( x <0 \) è derivabile a destra su tutto \( \mathbb{R} \) ma non è derivabile in \(x=0\), e non è nemmeno derivabile a sinistra in \(x=0\).
La definizione 4.1, menzionata nella definizione 5.1 di derivata nel Rudin, ma credo sia un po' arabo per l' OP quindi la metto in spoiler, comunque è semplicemente la definizione di limite.
Ad ogni modo hai tanti altri modi per poter definire la derivata di una funzione in un punto. Chiaro che se definisci la derivata in un punto di bordo come la derivata sinistra/destra allora, per definizione, hai che è derivabile al bordo, in generale non ci si preoccupa troppo del bordo con il concetto di derivata proprio per il concetto di derivata intrinseco, cosa me ne faccio di sapere come varia \(f\) sul bordo se poi non posso muovermi più in là di così ?
Ad esempio con la definizione "classica" di derivata, si ha che la derivata è definita solo su un aperto. Generalmente la derivata viene definita così:
Una funzione \(f\) definita in un intorno di \(x\) è detta derivabile in \( x\) se esiste finito il limite
\[ f'(x) := \lim_{h \underset{\neq}{\to} 0} \frac{f(x+h)-f(h)}{h} \]
Una funzione \(f\) definita in un aperto \(U\), è detta derivabile in \(U\) se è derivabile in ogni punto di \(U\).
Con questa definizione non ha senso chiedersi se \(f\) è derivabile in un punto del bordo poiché non c'è "spazio" per muoversi. Quindi con questa definizione di derivata una funzione può essere derivabile solo se considerata su un aperto.
Nel libro "Principles of Mathematical Analysis" di Walter Rudin, ad esempio da una definizione di derivata differente per cui è possibile considerare la derivata sul bordo. E lo fa appunto con la derivata destra e la derivata sinistra. Però in generale è importante sottolineare che il concetto di derivata unilaterale (one-sided-differentiability in inglese) è differente dal concetto di derivata. La derivabilità è più forte. Ad esempio la funzione che vale \(f(x)=1 \) quando \( x \geq 0 \) e \( f(x)=0 \) quando \( x <0 \) è derivabile a destra su tutto \( \mathbb{R} \) ma non è derivabile in \(x=0\), e non è nemmeno derivabile a sinistra in \(x=0\).
La definizione 4.1, menzionata nella definizione 5.1 di derivata nel Rudin, ma credo sia un po' arabo per l' OP quindi la metto in spoiler, comunque è semplicemente la definizione di limite.
Definizione 5.1
Sia \( f \) una funzione a valori reali e definita su \( [a,b] \). Per ogni \(x \in [a,b] \) costruiamo il quoziente
\[(1) \ \ \ \phi(t) = \frac{f(t)-f(x)}{t-x} \]
per \( a < t < b, t \neq x \). E definiamo
\[(2) \ \ \ f'(x) = \lim_{t \to x} \phi(t) \]
quando questo limite esiste in accordo con la definizione 4.1.
Associamo quindi alla funzione \(f\) una funzione \(f'\) il cui dominio è l'insieme dei punti \(x\) per i quali il limite (2) esiste; \(f' \) è chiamata la derivata di \(f\). Se \(f'\) è definita in un punto \(x\), diciamo che \(f\) è differenziabile in \(x\). Se \(f'\) è definita in ogni punto di \( E \subset [a,b] \), diciamo che \( f\) è differenziabile in \(E\).
È possibile considerare il limite destro e il limite sinistro in (2); questo porta alla definizione di derivata destra e derivata sinistra. In particolare, nei punti di bordo \(a\), \(b\) la derivata, se esiste, è una derivata destra ed una derivata sinistra, rispettivamente. Non discuteremo, tuttavia, le derivate unilaterali (one-sided-derivatives) in dettaglio.
Se \(f\) è definita in un segmento \((a,b) \) e se \( a < x < b \), allora \(f'(x) \) è definita da (1) e (2), come sopra. Ma \(f'(a) \) e \( f'(b) \) non sono definite in questo caso.
Ad ogni modo hai tanti altri modi per poter definire la derivata di una funzione in un punto. Chiaro che se definisci la derivata in un punto di bordo come la derivata sinistra/destra allora, per definizione, hai che è derivabile al bordo, in generale non ci si preoccupa troppo del bordo con il concetto di derivata proprio per il concetto di derivata intrinseco, cosa me ne faccio di sapere come varia \(f\) sul bordo se poi non posso muovermi più in là di così ?
Non capisco perchè parlate tutti di derivata destra o sinistra, è la derivata anche nel punto di bordo, stop. E' come sottolineare che quando $x\to +\infty$ il limite è sempre da sinistra e mai da destra, è inutile. Derivate destre e sinistre sono utili solo nel caso in cui hanno senso entrambe.
Concordo, mi ha sempre dato un po' fastidio questa specificazione quando non è necessaria.
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