$x^3=1$

[gio73]

Buon xxv aprile a tutti!
Ieri riflettevo su questa questione: l'equazione del titolo dovrebbe avere 3 soluzioni, giusto?
Ho provato a determinarle, non metto tutti i passaggi se trovate degli errori spiego il ragionamento che ho seguito.
Allora le 3 soluzioni: una è reale, ed è $1$, le altre due sono 2 numeri complessi coniugati: $-1/2+sqrt3/2i$ e $-1/2-sqrt3/2i$.
A proposito quando cerco le soluzioni di equazioni di grado superiore al primo a coefficienti reali se ce ne sono di complesse si presentano a sempre a coppie di coniugati?
Grazie delle eventuali risposte.

[Gi81]

Ci sono due teoremi che vengono in aiuto per spiegare la questione:

Teorema fondamentale dell'algebra
Ogni polinomio non costante a coefficienti complessi ammette almeno una radice complessa.

Da questo teorema segue che un qualunque polinomio a coefficienti complessi di grado \(n>0\)
ammette precisamente \(n\) radici, contate con la loro molteplicità.

Teorema
Sia \(p(x):= a_0 +a_1 x +a_2 x^2 + \ldots + a_{n-1}x^{n-1}+a_n x^n \in \mathbb{C} \left[x\right] \),
e siano \( z_1, z_2, \ldots z_{n-1}, z_n \in \mathbb{C}\) le radici di \(p(x)\).

Allora il polinomio \( \bar{p}(x):= \bar{a_0} +\bar{a_1}x + \ldots +\bar{a_n}x^n\) (detto polinomio coniugato di \(p(x)\))
ha come radici i coniugati delle radici di \(p(x)\), ovvero \( \bar{z_1}, \bar{z_2}, \ldots, \bar{z_n}\)

Quindi se \(p(x) \in \mathbb{R}\left[x\right]\), banalmente coincide con il suo polinomio coniugato.
Pertanto ogniqualvolta ha una radice complessa \(\alpha \), anche \(\bar{\alpha}\) sarà radice di \(p(x)\).

[gio73]

grazie della risposta gi8, visto che non mi hai corretta deduco che le radici complesse siano giuste. Alla prossima!

[itpareid]

sì esatto, vedi anche le famose radici dell'unità