$x^2+y^2=1

[fu^2]

prendiamo questo caso semplice, se io volessi trovare la derivata, devo derivare solo le x, giusto? cioè sarebbe la deivata sarebbe $2x+y^2=0$?

perchè tipo stavo pensando ad un problema generico tipo
"trovare l'angolo di incidenza che formano le curve $alpha:y=x^2+x$ e $beta:x^2+y^2+x+y=0$ nei loro punti d'intersezione"

beh la prima cosa è trovare i punti di intersezione
${(y = x^2 + x),(x^2 + y^2 + x + y = 0):}
da cui
${(x=0),(y=0):}U{(x=-1),(y=0):}

quindi deriviamo la parabola e otteniamo $y'=2x+1$ mentre la circonferenza sarà $2x+y^2+1+y=0$

nell'origine $y'_(alpha(0))=1$, mentre la circonferenza verrebbe $y^2+y+1=0$ che non ha soluzioni questa equazione.... come faccio???

finito questo scoglio calcolare l'angolo è semplice, basta guardare gli angoli che formano con l'ascissa le due tangenti e ricordare la proprietà che la somma di due angoli interni consecutivi in un triangolo è ugule all'angolo esterno del vertice opposto
quindi chiamato $omega$ l'angolo esterno, $gamma$ l'angolo formato dall'intersaìezione delle due tangenti in 0,0 e $epsilon$ l'altro si avrà che
$gamma=omega-epsilon$ quindi $tangamma=tanomega-tanepsilon$ quindi $tangamma=(tanomega-tanepsilon)/(1+tanomegatanepsilon)$ ma $tanomega=m_(alpha)$ e $tanepsilon=m_(beta)$ sostituendo ottengo che
$gamma=atan((m_(alpha)-m_(beta))/(1+m_(alpha)m_(beta)))$

però son in difficoltà a trovare la derivata della circonferenza... uffi... nel senso devo trovare una costante per poter avere il coefficiente angolare... nell'origine derivando in quel modo la circonferenza non mi trovo... uffi... chi mi aiuta?

[_Tipper]

$x^2+y^2=1$ non è una funzione (e non si può derivare come hai fatto!), puoi considerare una semicorconferenza per volta, ovvero prima $y=\sqrt{1-x^2}$ e poi $y=-\sqrt{1-x^2}$, ma ricorda che queste sono due funzioni diverse.

[fu^2]

"Tipper":$x^2+y^2=1$ non è una funzione (e non si può derivare come hai fatto!), puoi considerare una semicorconferenza per volta, ovvero prima $y=\sqrt{1-x^2}$ e poi $y=-\sqrt{1-x^2}$, ma ricorda che queste sono due funzioni diverse.

grazie...
ma se ho due termini in y, di cui uno di secondo grado, come faccio a ricavare due semicirconferenze come in questo caso?...
cioè verrebbe $y_(1,2)=(-1+-sqrt(1-4(x^2+x)))/2$ nel caso la circonferenza sia $y^2+x^2+y+x=0?

se fosse così, in 0,0 avrei due coefficienti angolari, quale scelgo?...

credevo che si potesse derivare una qualsiasi curva del piano, invece si può derivare solo una funzione, giuusto?... quindi anche se ho una parabola rotata di 90° devo fare lo stesso discorso, giusto?

[_Tipper]

"fu^2":se fosse così, in 0,0 avrei due coefficienti angolari, quale scelgo?...

In questo caso il centro è in $(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$, l'origine appartiene alla semicirconferenza superiore, quindi devi considerare la soluzione con il +.

[_Tipper]

"fu^2":credevo che si potesse derivare una qualsiasi curva del piano, invece si può derivare solo una funzione, giuusto?... quindi anche se ho una parabola rotata di 90° devo fare lo stesso discorso, giusto?

Nessuno ti vieta di derivare la parabola rispetto a $y$, ma in questo caso l'insieme delle $y$ sarebbe il dominio e l'insieme delle $x$ sarebbe il codominio.

[fu^2]

ok grazie mille

[codino75]

"fu^2":

credevo che si potesse derivare una qualsiasi curva del piano, invece si può derivare solo una funzione, giuusto?... quindi anche se ho una parabola rotata di 90° devo fare lo stesso discorso, giusto?

fors epuo' esserti utile rivedere la definizione esatta di funzione.
tornando alle origine spesso si semplificano le cose che sembravano complicate.
ciao alex

[Camillo]

@ fu^2
Puoi anche derivare l'equazione $ x^2+y^2 = 1 $ [ la funzione è data in forma implicita, in questo caso facilmente esplicitabile ]rispetto ad x , ricordando però che y è funzione di x e quindi la derivata di $ y^2 $ sarà : $2*y*y'$ (derivata di funzione composta) ; otterrai quindi derivando ambo i membri ( sotto opportune ipotesi , Teorema di Dini sulle funzioni implicite):

$2*x+2*y*y' = 0 $ da cui $ y'=-x/y $ che è corretta ; se consideri la semicirconferenza superiore hai che $y = sqrt(1-x^2)$ e quindi appunto $ y' = -x/sqrt(1-x^2)$.

[fireball1]

"Camillo":sotto opportune ipotesi , Teorema di Dini sulle funzioni implicite

Non credo che al liceo, seppur in quinta, si studi il Teorema del Dini...

[Camillo]

Certo che no, ma ho voluto completare quel che ho detto dando il nome almeno del teorema ...

[fu^2]

grazie mille camillo!
e anche a tipper!!

[_Tipper]

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