Why not?

[alfiere15]

Salve a tutti.
Mi è capitato questo esercizio:
"Calcola il seguente limite:
$lim_(x -> oo ) (2x +cos x)/x$
Perché non è applicabile il Teorema di De L'Hopital? Quale ipotesi viene a mancare?"
Non riesco a capire quale ipotesi venga a mancare. Chi mi può illuminare?
Grazie!

[@melia]

Accendiamo la luce!
Non esiste il limite $lim_(x-> +oo) (f'(x))/(g'(x))$

Il teorema dice che $f(x)$ e $g(x)$ devono essere continue e derivabili e $lim_(x-> x_0) f(x)/g(x)$ deve essere una forma indeterminata $0/0$ o $oo/oo$, e tutto questo è vero, inoltre deve esistere il limite $lim_(x-> x_0) (f'(x))/(g'(x))$ solo allora $lim_(x-> x_0) f(x)/g(x)=lim_(x-> x_0) (f'(x))/(g'(x))$, nel tuo caso il limite del rapporto delle derivate non esiste.

[alfiere15]

Facendo il rapporto delle derivate, ottengo:
$2 - sen (x)$
Quindi:
$lim_(x->oo) 2 - sen(x) = non esiste$
E non esiste perché il seno oscilla tra -1 e 1, giusto?
Inoltre, per risolvere quel limite, ho ragionato così:
$lim_(x->oo) (2x + cos(x))/x = oo/oo$
Ora, poiché il coseno oscilla tra -1 e 1, può essere trascurato, quindi ottengo
$lim_(x->oo) (2x)/x = 2$
É corretto? Il risultato del libro è 2, ma non so se io abbia ragionato bene!

[Zero87]

"alfiere15":Ora, poiché il coseno oscilla tra -1 e 1, può essere trascurato

Il ragionamento è giusto anche se "trascurare" è un termine un po' più fisico. Diciamo che essendo una quantità limitata non influenza il risultato finale: raccogliendo una "x" al numeratore si può giustificare anche visivamente il tutto ma in realtà basta anche quanto hai detto tu.

Ripeto, il tuo ragionamento è corretto, il mio era solo un piccolo appunto.