Volumi solidi con integrali

[Samuele-ci-12]

vorrei chiedere come faccio a trovare il volume di una piramide attraverso il metodo delle sezioni con gli integrali. Data una piramide quadrata di base a e altezza h, come faccio a dimostrare che V=1/3a^2 h? Nella mia testa basterebbe trovare la funzione che mi descrive una sezione, che essendo quadrata è pari a x^2 e integrarla da 0 a h. Come mai questo ragionamento non è giusto e come bisogna procedere?

[Quinzio]

Il ragionamento e' corretto.
L'integrale e'
$V = \int_0^H (A/H x)^2 dx $

$V= (A/H)^2 \int_0^H x^2 dx $

$V= (A/H)^2 1/3 x^3|_0^H $

$V = 1/3(A/H)^2 H^3 $

$V= 1/3 A^2 H$

[Samuele-ci-12]

non riesco a capire il significato di quell’A/H

[Quinzio]

"samuele.ciammola":non riesco a capire il significato di quell’A/H

Facciamo un esempio reale: la piramide di Giza.
https://it.wikipedia.org/wiki/Piramide_di_Cheope
E' una piramide a base quadrata e' alta 138 m e larga alla base 230 m (circa).

Voglio calcolare la sezione della piramide quando sono 10 m sotto al vertice.
Immagino di tagliare la piramide con un piano orizzontale che sta 10 m sotto al vertice.

Allora
$H=138 m$
$A = 230 m$
$x = 10 m$

La sezione e' un quadrato di lato $A/H x$ e quindi l'area e' $(A/H x)^2$.

Giusto ? Ti trovi ?

[giammaria2]

Sbaglia il prete a dir Messa, ed anche a Quinzio è sfuggito un errore: A non va elevato a quadrato.
Poni la piramide col vertice nell'origine e la base perpendicolare all'asse x, poi intersecala con un piano parallelo alla base: l'intersezione è un poligono simile alla base, con rapporto di similitudine uguale al rapporto fra le distanze dal vertice, cioè $x/h$. Poiché il rapporto fra le aree è il quadrato del rapporto di similitudine, l'area S(x) dell'intersezione è data da
$S(x):A=(x/h)^2->S(x)= A x^2/h^2$
Ti basta ora integrare, facendo i calcoli come indicato da Quinzio.

[Quinzio]

Ok ok non c'e' problema a sbagliare e a correggersi.
Il problema e' che ho voluto usare le stesse lettere usate dall'OP, e il lato della base era indicato con "a". Io l'ho scritto come $A$, anche se capisco che $A$ suggerisce l'area, ma e' il lato del quadrato.