Volume di rotazione
Ciao ragazzi, il prof durante il compito ci ha lasciato questo esercizio:
data la curva di equazione $y=xe^(x^3)$, considera la regione finita del piano cartesiano definita dalla curva e dall'assa delle ascisse e dalla retta du eqyazuibe x=-1. Calcola il volume del solido generato da tale regione nella rotazione completa attorno l'asse x.
Allora io credo che bisognasse risolvere i due integrali:
$V=\pi\int (xe^(x^3))^2dx - \pi\int (x+1)^2dx$... è giusto? come devo definire gli estremi di integrazione?
Vi ringrazio anticipatamente
data la curva di equazione $y=xe^(x^3)$, considera la regione finita del piano cartesiano definita dalla curva e dall'assa delle ascisse e dalla retta du eqyazuibe x=-1. Calcola il volume del solido generato da tale regione nella rotazione completa attorno l'asse x.
Allora io credo che bisognasse risolvere i due integrali:
$V=\pi\int (xe^(x^3))^2dx - \pi\int (x+1)^2dx$... è giusto? come devo definire gli estremi di integrazione?
Vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Ciao, secondo me non è così... Questo è il grafico:
Il volume di rotazione può essere visto come la somma di tanti piccoli cilindri che hanno come raggio la distanza tra l'asse $x$ e la funzione in quel punto (ovvero proprio il valore della funzione, preso in valore assoluto) e come altezza un piccolo $dx$. Dato che il volume di un cilindro è \[V = \pi r^2 h\] abbiamo che il volume di un cilindretto è \[V^{*} = \pi \left(x e^{x^3}\right)^2\ dx\] A questo punto la $x$ può andare da $-1$ a $0$, quindi la tua soluzione sarà \[
V = \int_{-1}^{0} \pi \left(x e^{x^3}\right)^2\ dx
\]
Il volume di rotazione può essere visto come la somma di tanti piccoli cilindri che hanno come raggio la distanza tra l'asse $x$ e la funzione in quel punto (ovvero proprio il valore della funzione, preso in valore assoluto) e come altezza un piccolo $dx$. Dato che il volume di un cilindro è \[V = \pi r^2 h\] abbiamo che il volume di un cilindretto è \[V^{*} = \pi \left(x e^{x^3}\right)^2\ dx\] A questo punto la $x$ può andare da $-1$ a $0$, quindi la tua soluzione sarà \[
V = \int_{-1}^{0} \pi \left(x e^{x^3}\right)^2\ dx
\]
In effetti col grafico è tutto più chiaro... il problema sarebbe risolvere quell'integrale con $e^x^6$
Occhio perché $(e^(x^3))^2 = e^(2x^3)$ e non $e^(x^6)$.
caspita hai ragione! Grazie mille!
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