Visto sotto angolo massimo e angolo minimo
Ho questo problema che credo di aver risolto intuitivamente, ma a cui non riesco a dare una spiegazione formale. Ho provato con la geometria analitica ma i calcoli si complicano di molto. Credete che ci sia un'altra via più semplice?
"Siano fissati due punti, $A$ e $B$ e sia data una circonferenza avente centro sull'asse del segmento $AB$, non avente punti in comune con la retta AB. Determinare i punti della circonferenza dai quali il segmento AB è visto sotto l'angolo massimo e sotto l'angolo minimo"
Intuitivamente, direi che il punto che vede il segmento sotto l'angolo massimo è il punto d'intersezione tra la circonferenza e l'asse del segmento, più vicino al segmento. Il punto che vede il segmento sotto l'angolo minimo è il punto d'intersezione tra la circonferenza e l'asse del segmento, più lontano dal segmento...
"Siano fissati due punti, $A$ e $B$ e sia data una circonferenza avente centro sull'asse del segmento $AB$, non avente punti in comune con la retta AB. Determinare i punti della circonferenza dai quali il segmento AB è visto sotto l'angolo massimo e sotto l'angolo minimo"
Intuitivamente, direi che il punto che vede il segmento sotto l'angolo massimo è il punto d'intersezione tra la circonferenza e l'asse del segmento, più vicino al segmento. Il punto che vede il segmento sotto l'angolo minimo è il punto d'intersezione tra la circonferenza e l'asse del segmento, più lontano dal segmento...
Risposte
Sia P un punto della circonferenza (diverso dai due che hai citato) e consideriamo la circonferenza circoscritta ad ABP. Essendo secante alla circonferenza data, incontra l'asse in un punto Q interno a quest'ultima. Gli angoli APB e AQB sono uguali perchè ... quindi il valore minimo o massimo di APB si avrà con quelli di AQB; questi si verificano nei due estremi perchè ... (considera l'angolo formato con l'asse)
Ok. Quindi $APB$ e $AQB$ sono uguali perché sottesi dallo stesso arco $AB$. Se considero il triangolo rettangolo formato dal punto medio di $AB$, da $A$ e rispettivamente dai due punti che dicevo, l'angolo formato con l'asse è maggiore laddove l'angolo in A che incontra la circonferenza è minore, e l'angolo formato con l'asse è minore laddove l'angolo in A che incontra la circonferenza è maggiore.. Che ne dici?
Esatto, anche se la frase "l'angolo in A che incontra la ciconferenza" non è molto felice: meglio dire "l'angolo BAQ". Per l'ultima domanda io avevo usato il teorema "L'angolo esterno ad un triangolo è maggiore degli angoli interni non adiacenti", ma la tua soluzione è forse migliore.
Grazie mille! =)
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