Vettori

[lorenzo3333]

Ciao a tutti.

Mi sto preparando per il compito di matematica. Non riesco a risolvere 3 esercizi. Non riesco a capire il procedimento. Ho provato in tutti i modi. Sarei grato se mi li spiegaste
1. Dati i vettori dello spazio a=3;1;-1 b=1;0;-2 c=-4;t;3 . Trova "t", tale che i tre vettori siano dipendenti

2. Siano a,b,c 3 vettori linearmente indipendenti. Dimostra che siano indipendenti anche a+b,b+c,c+a

3. Siano a,b,c 3 vettori a due a due ortogonali (che signifa a due a due ortogonali?). Dimostra che a,b,c sono linearmente indipendenti.

Grazie mille

[luca961]

Ciao Per il primo punto fari così: mi scrivo la matrice associata ai tre vettori; per essere i tre vettori linearmente indipendenti la matrice deve avereil rango < 3 , ovvero il determinante deve essere nullo
\begin{pmatrix} 3 & 1 & -1\\ 1 & 0 & -2\\ -4 & t & 3 \end{pmatrix} $Det(A)=0$ $8-t-6t-3=0$ $t=\frac{5}{7}$
Per la 2 non saprei... Per la 3 penso ci sia poco da dimostrare. Se $a$ e $b$ sono ortogonali tra di loro vuol dire che sono indipendenti. Se $c$ è ortogonale con $a$ e con $b$ vuol dire che non giace nello spazio generato da $a$ e $b$ quindi è indipendente da questi

[Sk_Anonymous]

"lorenzosciarpa":[...] 2. Siano a,b,c 3 vettori linearmente indipendenti. Dimostra che siano indipendenti anche a+b,b+c,c+a [...]

Se \(\displaystyle a,b,c \) sono tre vettori linearmente indipendenti, allora \(\displaystyle \alpha a + \beta b + \gamma c =0 \) se \[\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=0 \] Sia ora \[\displaystyle \alpha (a+b) + \beta (b+c) + \gamma (c+a) =0 \qquad [1] \] una combinazione lineare nulla di questi tre nuovi vettori. Siccome il prodotto scalare-vettore distribuisce, si ha che \[\displaystyle [1]=\alpha a + \alpha b + \beta b + \beta c + \gamma c + \gamma a = (\alpha + \gamma)a + (\alpha + \beta)b + (\beta + \gamma)c=0 \] e sfruttando l'indipendenza di \(\displaystyle a,b,c \) si ha che \[\displaystyle \begin{cases} \alpha = -\gamma \\ \alpha = -\beta \\ \beta = -\gamma \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \alpha=\beta=\gamma=0 \]

"luca96":[...] Per la 3 penso ci sia poco da dimostrare. Se $a$ e $b$ sono ortogonali tra di loro vuol dire che sono indipendenti. Se $c$ è ortogonale con $a$ e con $b$ vuol dire che non giace nello spazio generato da $a$ e $b$ quindi è indipendente da questi

In realtà si deve dare una piccola dimostrazione anche di questo fatto, anche se il tuo ragionamento euristico è corretto. Per semplicità assumo tre vettori ortogonali \(\displaystyle a,b,c \); una loro combinazione lineare nulla è, come sopra \[\displaystyle \alpha a + \beta b + \gamma c = 0 \] con \(\displaystyle (\alpha, \beta , \gamma) \in \mathbb{R}^3 \). Allora \[\displaystyle a \cdot (\alpha a + \beta b + \gamma c) = \alpha(a \cdot a) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \alpha =0 \] per le proprietà del prodotto scalare \(\displaystyle \cdot \).