Verificare se f(x)=2/5 - (1/3)x^3 è una funzione. Se sì, verificare se iniettiva, suriettiva, e trovare inversa.
Salve,
ho la seguente legge:
$f: RR \rightarrow RR$ tale che $\forall x \in RR, f(x) = \frac{2}{5} - \frac{1}{3}x^3$
potreste per cortesia darmi una mano?
ho provato a svolgerla per conto mio.
i) prima di tutto, come faccio a sapere se tale legge è una funzione?
considerando la definizione di funzione:
esiste un procedimento, una formula per verificare questo sulla legge data,
oppure bisogna andare a tentativi, ottenendo una parte di grafico, per trovare un elemento per cui si può dire che tale legge è o non è una funzione? Ma è chiaro che non posso sapere a tentativi se esiste tra tantissimi valori un elemento che verifica che la legge data non è una funzione, stessa cosa dicasi per verificare la iniettività e la suriettività di una funzione.
ii) ho saltato perciò il primo passaggio, ho considerato a priori che si tratti di una funzione.
Ho provato a verificare la iniettività.
Anche in questo caso, si può andare a tentativi verificando il grafico e vedendo se la curva si interseca con l'asse delle x più di una volta. Oppure,
seguendo la definizione di funzione iniettiva:
perciò, ponendo:
[tex]f(a) = \frac{2}{5} - \frac{1}{3}a^3 \\ f(b) = \frac{2}{5} - \frac{1}{3}b^3[/tex]
seguendo la definizione, ottengo la seguente equazione:
[tex]\begin{array}{rcl} \frac{2}{5} - \frac{1}{3}a^3 & = & \frac{2}{5} - \frac{1}{3}b^3 \\ a^3 & = & b^3 \\ a & = & b \end{array}[/tex]
perciò la funzione è iniettiva.
ora sorge una domanda, in base a quando detto in un altro post a riguardo:
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=11&t=170217&p=8258841#p8258841
la derivata prima della funzione considerata è:
$f'(x) = -x^2$
che si annulla per $x = 0$.
questo fatto del'esistenza di un valore che annulla la derivata prima, comporta la non iniettività della funzione?
iii) per verificare la suriettività
se non sbaglio, è possibile andare a tentativi guardando se ogni elemento x si interseca con almeno un punto della curva, se c'è una zona dove la curva non esiste, allora non è suriettiva. Oppure,
considerando la definizione di funzione suriettiva:
perciò, volendo chiamare l'elemento $a$ e la sua immagine $a'$:
[tex]\begin{array}{rcl} \frac{2}{5} - \frac{1}{3}a^3 & = & a' \\ -\frac{1}{3}a^3 & = & a' - \frac{2}{5} \\ \frac{1}{3}a^3 & = & \frac{2}{5} - a' \\ a^3 & = & 3 \left ( \frac{2}{5} - a' \right ) \\ a^3 & = & \frac{6}{5} - 3a' \\ a & = & \left ( \frac{6}{5} - 3a' \right )^{\frac{1}{3}}\end{array}[/tex]
cioè $a$ apparterrà sempre al dominio $RR$, per ogni scelta di $a'$?
sembra di sì, perchè sembra un numero razionale il quale è incluso nell'insieme dei numeri reali.
iv) poichè è biiettiva, ho calcolato la funzione inversa:
[tex]\begin{array}{rcl} y & = & \frac{2}{5} - \frac{1}{3}x^3 \\ - \frac{1}{3}x^3 & = & y - \frac{2}{5} \\ \frac{1}{3}x^3 & = & \frac{2}{5} - y \\ x^3 & = & 3 \left ( \frac{2}{5} - y \right ) \\ x^3 & = & \frac{6}{5} - 3y \\ x & = & \sqrt[3]{\frac{6}{5} - 3y } \\ x & = & \left ( \frac{6}{5} - 3y \right )^{\frac{1}{3}} \end{array}[/tex]
Allora, [tex]f^{-1}(y) = \left ( \frac{6}{5} - 3y \right )^{\frac{1}{3}}[/tex].
Mettendo la x al posto di y otteniamo:
[tex]\begin{array}{lcl}f^{-1}(x) & = & ( \frac{6}{5} - 3x )^{\frac{1}{3}} \\ & = & \left ( \frac{3 \cdot 2}{5} - 3x \right )^{\frac{1}{3}} \\ & = & 3^{\frac{1}{3}} \left (\frac{2}{5} - x \right )^{\frac{1}{3}} \end{array}[/tex]
l'esercizio non dovrebbe richiedere l'intervento di analisi, ma se è un mezzo per per arrivare prima alla risposta allora ben venga, (se però me lo spiegate
). Perdonatemi se non comprendo al volo queste cose che mi sembrano sempre molto ostiche. potreste darmi una mano per favore?
Grazie mille davvero!
ho la seguente legge:
$f: RR \rightarrow RR$ tale che $\forall x \in RR, f(x) = \frac{2}{5} - \frac{1}{3}x^3$
potreste per cortesia darmi una mano?
ho provato a svolgerla per conto mio.
i) prima di tutto, come faccio a sapere se tale legge è una funzione?
considerando la definizione di funzione:
per ogni elemento $a in A$, esiste ed è UNICO un elemento $b \in B$, tale che, $f(a) = b$.
$\forall a \in A, \exists! b \in B | f(a) = b$
esiste un procedimento, una formula per verificare questo sulla legge data,
oppure bisogna andare a tentativi, ottenendo una parte di grafico, per trovare un elemento per cui si può dire che tale legge è o non è una funzione? Ma è chiaro che non posso sapere a tentativi se esiste tra tantissimi valori un elemento che verifica che la legge data non è una funzione, stessa cosa dicasi per verificare la iniettività e la suriettività di una funzione.
ii) ho saltato perciò il primo passaggio, ho considerato a priori che si tratti di una funzione.
Ho provato a verificare la iniettività.
Anche in questo caso, si può andare a tentativi verificando il grafico e vedendo se la curva si interseca con l'asse delle x più di una volta. Oppure,
seguendo la definizione di funzione iniettiva:
una funzione è iniettiva se elementi distinti nel dominio hanno immagini distinte nel codominio.
$\forall a,b \in A \Rightarrow f(a) \ne f(b)$
o in modo equivalente
$\forall a,b in A, f(a) = f(b) \Rightarrow a=b$
perciò, ponendo:
[tex]f(a) = \frac{2}{5} - \frac{1}{3}a^3 \\ f(b) = \frac{2}{5} - \frac{1}{3}b^3[/tex]
seguendo la definizione, ottengo la seguente equazione:
[tex]\begin{array}{rcl} \frac{2}{5} - \frac{1}{3}a^3 & = & \frac{2}{5} - \frac{1}{3}b^3 \\ a^3 & = & b^3 \\ a & = & b \end{array}[/tex]
perciò la funzione è iniettiva.
ora sorge una domanda, in base a quando detto in un altro post a riguardo:
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=11&t=170217&p=8258841#p8258841
la derivata prima della funzione considerata è:
$f'(x) = -x^2$
che si annulla per $x = 0$.
questo fatto del'esistenza di un valore che annulla la derivata prima, comporta la non iniettività della funzione?
iii) per verificare la suriettività
se non sbaglio, è possibile andare a tentativi guardando se ogni elemento x si interseca con almeno un punto della curva, se c'è una zona dove la curva non esiste, allora non è suriettiva. Oppure,
considerando la definizione di funzione suriettiva:
per ogni elemento $b$ nel codominio, esiste, ma NON è unico, un elemento $a$ nel dominio, per cui $f(a) = b$
$\forall b \in B, \exists a \in A | f(a) = b$
perciò, volendo chiamare l'elemento $a$ e la sua immagine $a'$:
[tex]\begin{array}{rcl} \frac{2}{5} - \frac{1}{3}a^3 & = & a' \\ -\frac{1}{3}a^3 & = & a' - \frac{2}{5} \\ \frac{1}{3}a^3 & = & \frac{2}{5} - a' \\ a^3 & = & 3 \left ( \frac{2}{5} - a' \right ) \\ a^3 & = & \frac{6}{5} - 3a' \\ a & = & \left ( \frac{6}{5} - 3a' \right )^{\frac{1}{3}}\end{array}[/tex]
cioè $a$ apparterrà sempre al dominio $RR$, per ogni scelta di $a'$?
sembra di sì, perchè sembra un numero razionale il quale è incluso nell'insieme dei numeri reali.
iv) poichè è biiettiva, ho calcolato la funzione inversa:
[tex]\begin{array}{rcl} y & = & \frac{2}{5} - \frac{1}{3}x^3 \\ - \frac{1}{3}x^3 & = & y - \frac{2}{5} \\ \frac{1}{3}x^3 & = & \frac{2}{5} - y \\ x^3 & = & 3 \left ( \frac{2}{5} - y \right ) \\ x^3 & = & \frac{6}{5} - 3y \\ x & = & \sqrt[3]{\frac{6}{5} - 3y } \\ x & = & \left ( \frac{6}{5} - 3y \right )^{\frac{1}{3}} \end{array}[/tex]
Allora, [tex]f^{-1}(y) = \left ( \frac{6}{5} - 3y \right )^{\frac{1}{3}}[/tex].
Mettendo la x al posto di y otteniamo:
[tex]\begin{array}{lcl}f^{-1}(x) & = & ( \frac{6}{5} - 3x )^{\frac{1}{3}} \\ & = & \left ( \frac{3 \cdot 2}{5} - 3x \right )^{\frac{1}{3}} \\ & = & 3^{\frac{1}{3}} \left (\frac{2}{5} - x \right )^{\frac{1}{3}} \end{array}[/tex]
l'esercizio non dovrebbe richiedere l'intervento di analisi, ma se è un mezzo per per arrivare prima alla risposta allora ben venga, (se però me lo spiegate
). Perdonatemi se non comprendo al volo queste cose che mi sembrano sempre molto ostiche. potreste darmi una mano per favore?Grazie mille davvero!
Risposte
Allora:
Le definizioni di iniettività e suriettività sono corrette e lo svolgimento è giusto. Chiaramente si tratta di una funzione suriettiva poiché è una cubica, e il codominio è tutto $RR$.
Occhio che la discussione che riporti tu trattava un'altra funzione. In quel caso si vedeva che, grazie allo studio dei massimi e minimi, a elementi distinti del dominio, corrispondeva lo stesso elemento nel codominio e pertanto non poteva essere iniettiva. Ma questo come hai dimostrato, non è il caso.
La parte fondamentale però è stabilire se si tratta di una funzione, altrimenti casca il palco. Fondamentalmente, devi provare che a ogni $x$ corrisponde una e una sola $y$. E' vero?
Si ha $y=2/5 +x^3/3$, pertanto è chiaro che ad per ogni scelta di $x$ si ha uno e uno solo valore di $y$. Quindi è una funzione.
Il procedimento per la funzione inversa è corretto. Non ho controllato i conti.
Le definizioni di iniettività e suriettività sono corrette e lo svolgimento è giusto. Chiaramente si tratta di una funzione suriettiva poiché è una cubica, e il codominio è tutto $RR$.
Occhio che la discussione che riporti tu trattava un'altra funzione. In quel caso si vedeva che, grazie allo studio dei massimi e minimi, a elementi distinti del dominio, corrispondeva lo stesso elemento nel codominio e pertanto non poteva essere iniettiva. Ma questo come hai dimostrato, non è il caso.
La parte fondamentale però è stabilire se si tratta di una funzione, altrimenti casca il palco. Fondamentalmente, devi provare che a ogni $x$ corrisponde una e una sola $y$. E' vero?
Si ha $y=2/5 +x^3/3$, pertanto è chiaro che ad per ogni scelta di $x$ si ha uno e uno solo valore di $y$. Quindi è una funzione.
Il procedimento per la funzione inversa è corretto. Non ho controllato i conti.
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